Contrôle corrigé de mathématiques sur la Trigonométrie - Première STI2D

Ce sujet de contrôle pour la classe de Première STI2D est une évaluation complète sur le chapitre de la trigonométrie et des fonctions trigonométriques. D'une durée d'une heure, il permet de vérifier la maîtrise des concepts fondamentaux et leur application dans des contextes variés, allant du cercle trigonométrique à l'étude de signaux physiques. Ce document est un excellent support pour les révisions, proposant un corrigé détaillé pour chaque question. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, trigonométrie, cercle trigonométrique, équations, fonctions sinus, cosinus.

Exercice 1 : Sur le cercle trigonométrique

Cet exercice d'introduction évalue les bases fondamentales du cercle trigonométrique, essentielles pour toute la suite du chapitre. Il se décompose en trois questions clés :

• Conversion d'angles : La première question demande de maîtriser la conversion entre les degrés et les radians. Il faut convertir 150° et 210° en radians, et inversement, la mesure 3π/4 en degrés. C'est une compétence de base pour naviguer entre les deux systèmes de mesure d'angles.
• Placement sur le cercle : La deuxième question est une application directe de la compréhension des angles en radians. Il est demandé de placer avec précision les points M₁, M₂, M₃, M₄ correspondant aux réels π/6, 2π/3, -π/4 et 5π/6 sur le cercle trigonométrique. Cet exercice vérifie la capacité à visualiser et à localiser les angles, y compris les angles remarquables.
• Mesure principale : La dernière question aborde la notion de mesure principale d'un angle, qui consiste à trouver l'angle équivalent dans l'intervalle ]-π; π]. Les angles à traiter sont 13π/6 et -7π/4. Cela nécessite de savoir ajouter ou soustraire des multiples de 2π pour ramener l'angle dans l'intervalle de référence.

Exercice 2 : Valeurs remarquables et angles associés

Ce deuxième exercice se concentre sur le calcul des valeurs de cosinus et sinus pour des angles spécifiques et la résolution d'équations trigonométriques. C'est le cœur du savoir-faire calculatoire en trigonométrie.

• Valeurs exactes : Il s'agit de restituer les valeurs exactes des cosinus et sinus des angles remarquables comme cos(π/3), sin(π/6) et cos(π/4). Une connaissance parfaite de ces valeurs est indispensable.
• Angles associés : La question suivante complexifie la tâche en demandant de calculer cos(3π/4) et sin(-π/3). Pour cela, il faut utiliser les formules des angles associés (comme cos(π - x) ou sin(-x)) pour se ramener aux angles remarquables du premier quadrant.
• Relation fondamentale : On teste ici l'utilisation de la relation fondamentale de la trigonométrie, cos²(x) + sin²(x) = 1. Étant donné sin(x) = 0,6 et le quadrant où se situe x (ici [0; π/2]), il faut déterminer la valeur de cos(x).
• Résolution d'équations : La dernière partie de l'exercice consiste à résoudre, dans l'intervalle ]-π; π], les équations simples cos(x) = 1/2 et sin(x) = -√2/2. La résolution doit s'appuyer sur le cercle trigonométrique pour identifier toutes les solutions dans l'intervalle donné.

Exercice 3 : Tension sinusoïdale

Cet exercice est une application concrète des fonctions trigonométriques à un problème de physique, modélisant une tension électrique. Il permet de lier les concepts abstraits à une situation réelle, typique du programme de STI2D. La fonction étudiée est u(t) = 12 sin(100πt + π/4).

• Analyse de la fonction : La première question consiste à identifier les paramètres de la fonction sinusoïdale : l'amplitude (12 V), la pulsation ω (100π rad/s) et la phase à l'origine φ (π/4 rad).
• Période et fréquence : Il est demandé de lire graphiquement la période T de la tension, puis de la confirmer par le calcul en utilisant la formule T = 2π/ω. On en déduit ensuite la fréquence f = 1/T.
• Calculs de valeurs : Les questions 3 et 4 demandent de calculer des images par la fonction, u(0) et u(0,005), afin de vérifier la cohérence entre le modèle mathématique et sa représentation graphique.
• Résolution d'équation complexe : La dernière question est la plus exigeante. Il faut déterminer le premier instant t₁ > 0 où la tension atteint son maximum de 12 V. Cela revient à résoudre l'équation 12 sin(100πt + π/4) = 12, soit sin(100πt + π/4) = 1. Il s'agit d'une équation trigonométrique dont il faut trouver la plus petite solution positive.

Exercice 4 : Vrai ou faux ?

Ce dernier exercice rapide prend la forme d'un QCM à justifier. Il vise à vérifier la compréhension précise des propriétés fondamentales des fonctions cosinus et sinus.

• Parité : La première affirmation, "pour tout réel x, cos(-x) = -cos(x)", teste la connaissance de la parité de la fonction cosinus (qui est paire, donc l'affirmation est fausse).
• Angles associés : La deuxième affirmation, "pour tout réel x, sin(π - x) = sin(x)", vérifie la maîtrise d'une des formules des angles associés (l'affirmation est vraie).
• Sens de variation : La troisième affirmation, "la fonction cosinus est croissante sur [0; π]", évalue la connaissance du sens de variation des fonctions trigonométriques de référence (l'affirmation est fausse, car le cosinus est décroissant sur cet intervalle).