Obtenez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première STI2D, centré sur les chapitres des suites arithmétiques et géométriques, ainsi que les automatismes. Ce sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est idéal pour s'entraîner et valider ses compétences.

Partie A : Automatismes (QCM)

Cette première partie est un QCM de 6 questions conçu pour évaluer la maîtrise des calculs de base essentiels en Première STI2D. Les notions abordées sont :

• Pourcentages et évolutions : Calcul du coefficient multiplicateur pour une augmentation (ex: +15%), détermination d'un taux d'évolution (ex: de 200€ à 150€), calcul du taux d'évolution global après des évolutions successives (hausse de 20% puis baisse de 20%), et recherche du taux d'évolution réciproque.
• Calculs sur les puissances : Simplification de produits de puissances comme \(2^5 \times 2^{-3}\).
• Écriture scientifique : Conversion d'un nombre décimal (ex: 0,00032) en notation scientifique.

Exercice 1 : Deux façons de définir une suite

Cet exercice explore les deux manières de définir une suite numérique à travers l'étude de deux suites \(u\) et \(v\).

• La suite \(u\) est définie de manière explicite : \(u(n) = 3n + 5\).
• La suite \(v\) est définie par récurrence : \(v(0) = 2\) et \(v(n+1) = v(n) + 4\).

Les questions guident l'élève pour :

1. Calculer les premiers termes de chaque suite.
2. Démontrer que les deux suites sont arithmétiques. Pour la suite \(v\), la nature est déduite de sa forme récurrente. Pour la suite \(u\), il faut prouver que la différence \(u(n+1) - u(n)\) est constante.
3. Étudier et justifier le sens de variation de chaque suite en se basant sur le signe de leur raison.
4. Réaliser une représentation graphique des premiers termes de la suite \(v\).

Exercice 2 : Montée en cadence dans un atelier

Cet exercice est un problème concret de modélisation par une suite arithmétique. Il s'agit de la production de pièces mécaniques qui augmente de 15 unités chaque semaine, en partant de 120 pièces la première semaine.

Les compétences évaluées sont :

• Modéliser la situation par une suite \(p(n)\).
• Identifier la nature arithmétique de la suite et sa raison en exprimant \(p(n+1)\) en fonction de \(p(n)\).
• Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique pour déterminer la production totale sur les quatre premières semaines.
• Utiliser un algorithme : compléter un programme Python avec une boucle while pour déterminer la semaine à partir de laquelle la production dépasse 300 pièces.
• Appliquer la logique des suites dans un tableur en trouvant la formule à étirer pour générer les termes.

Exercice 3 : Un capital placé

Ce dernier exercice aborde les suites géométriques à travers un problème classique de capital placé avec intérêts composés. Un capital de 2000€ est rémunéré à 3% par an.

L'élève doit :

• Calculer la valeur du capital après une et deux années.
• Exprimer \(c(n+1)\) en fonction de \(c(n)\) pour en déduire la nature géométrique de la suite et sa raison.
• Déterminer le sens de variation de la suite.
• Analyser des affirmations pour tester la compréhension fine des concepts :
  • Comparer une augmentation successive de 3% sur deux ans à une augmentation unique de 6%.
  • Distinguer une croissance exponentielle (modélisée par la suite \(c\)) d'une croissance linéaire.
  • Vérifier si une suite non-arithmétique (comme \(w(n) = 5n^2\)) satisfait à la définition d'une suite arithmétique.

Ce sujet complet est un excellent outil de révision sur les suites pour les élèves de Première STI2D. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, suites numériques, suite arithmétique, suite géométrique, algorithme, pourcentages.