Analyse du Contrôle de Mathématiques : Statistiques en Première STI2D

Ce sujet de contrôle pour les élèves de Première STI2D porte sur le chapitre des statistiques à deux variables. Il évalue la capacité des élèves à manipuler, interpréter et calculer des effectifs et des fréquences à partir de données brutes ou de pourcentages. Les exercices s'articulent autour de l'utilisation de tableaux croisés d'effectifs, de la distinction fondamentale entre fréquences marginales et fréquences conditionnelles, et incluent une application en algorithmique avec Python. Ce type de sujet est un excellent entraînement pour maîtriser les bases des probabilités conditionnelles et de l'analyse de données. Retrouvez ici une analyse détaillée et un corrigé de ce devoir de mathématiques.

Exercice 1 : Comment viennent-ils au lycée ?

Cet exercice introductif pose les bases de l'analyse de données à deux variables qualitatives : le niveau de l'élève (Seconde, Première, Terminale) et son mode de transport (Bus, Voiture, Vélo/pied). L'objectif principal est de savoir construire et lire un tableau à double entrée.

• Question 1 : Il s'agit de compléter un tableau croisé d'effectifs à partir d'informations diverses. Par exemple, pour trouver le nombre d'élèves en Seconde, on calcule \(40\% \times 500 = 200\) élèves. Ensuite, pour trouver ceux qui viennent en bus, on calcule \(60\% \times 200 = 120\) élèves. Les autres cases sont remplies par soustraction en utilisant les totaux des lignes et des colonnes. C'est une compétence fondamentale de synthèse de l'information.
• Question 2 : Cette question demande le calcul d'une fréquence marginale. Il faut d'abord trouver le nombre total d'élèves venant en voiture grâce au tableau, puis le diviser par l'effectif total : \(P(\text{Voiture}) = \frac{\text{Effectif total Voiture}}{\text{Effectif total Lycée}}\).
• Question 3 : Ici, on aborde la notion clé de fréquence conditionnelle, c'est-à-dire une proportion calculée sur une sous-population. Par exemple, la fréquence des élèves venant en voiture parmi les élèves de terminale se note \(P(\text{Voiture} | \text{Terminale})\) et se calcule par : \(P(\text{Voiture} | \text{Terminale}) = \frac{\text{Effectif}(\text{Voiture} \cap \text{Terminale})}{\text{Effectif}(\text{Terminale})}\).
• Question 4 : Cette question piège met en lumière une confusion fréquente : celle entre \(P(A|B)\) et \(P(B|A)\), ou encore entre une fréquence conditionnelle et une fréquence par rapport au total. Le journaliste a calculé \(\frac{\text{Effectif}(\text{Terminale} \cap \text{Voiture})}{\text{Effectif total}}\), ce qui correspond à la proportion d'élèves qui sont à la fois en terminale et en voiture. Il fallait corriger en calculant la bonne fréquence conditionnelle ou en adaptant la phrase à son calcul.

Exercice 2 : Contrôle de vitesse

Cet exercice renforce les compétences de l'exercice 1 mais en partant de données exprimées uniquement en fréquences. Les variables sont le type de véhicule et le respect de la vitesse.

• Question 1 : Il faut identifier la nature des pourcentages donnés. Une fréquence marginale est une proportion par rapport à l'ensemble des 1200 véhicules (ex: "75% des véhicules contrôlés sont des voitures"). Une fréquence conditionnelle est une proportion par rapport à une sous-catégorie (ex: "12% des voitures étaient en excès de vitesse").
• Question 2 : La première étape est de repasser des fréquences aux effectifs. Par exemple, le nombre de voitures est \(1200 \times 0.75 = 900\). Le nombre de voitures en excès est \(900 \times 0.12 = 108\). Une fois tous les effectifs calculés, on peut dresser le tableau croisé.
• Question 3 et 4 : On applique à nouveau les formules des fréquences marginales et conditionnelles sur le tableau d'effectifs nouvellement créé.
• Question 5 : C'est le point d'orgue de l'exercice, qui demande d'expliquer pourquoi "20% des deux-roues sont en excès" (\(P(\text{Excès} | \text{Deux-roues})\)) n'est pas la même chose que "17% des excès sont des deux-roues" (\(P(\text{Deux-roues} | \text{Excès})\)). Le premier pourcentage se base sur le total des deux-roues, tandis que le second se base sur le total des véhicules en excès. Il n'y a aucune contradiction, ce sont deux informations différentes et complémentaires.

Exercice 3 : Filtrer des données avec Python

Cet exercice fait le lien entre les statistiques et l'algorithmique, une compétence de plus en plus importante. Il s'agit de comprendre comment un programme peut trier et compter des données pour extraire des informations statistiques.

• Question 1 : L'analyse du script Python montre une boucle qui parcourt les listes. La condition `if classe[i] == "Tle" and mode[i] == "voiture"` utilise l'opérateur logique `and`. Le script compte donc le nombre d'occurrences simultanées des deux conditions, ce qui correspond à l'effectif de l'intersection des deux événements.
• Question 2 : Pour répondre, il suffit de lire la valeur correspondante dans le tableau de l'exercice 1, à l'intersection de la ligne "Terminale" et de la colonne "Voiture".
• Question 3 : Modifier le test avec un `or` change radicalement le comptage. Le script compterait les élèves venant en bus ou à vélo, ce qui correspond à la somme des effectifs des deux catégories.
• Question 4 : Compléter la fonction `frequence` demande de traduire la formule d'une fréquence conditionnelle en code. Il faut initialiser deux compteurs, un pour le dénominateur (le nombre total de terminales) et un pour le numérateur (le nombre de terminales en voiture). La fonction doit ensuite retourner la division des deux.

Exercice 4 : Vrai ou faux ?

Ce dernier exercice est un QCM argumenté qui teste la bonne compréhension et l'interprétation des notions de fréquence. Il faut justifier chaque réponse par un calcul précis.

• Affirmation 1 & 2 : Il s'agit de simples calculs de vérification de fréquences marginale et conditionnelle. Pour la 2, on calcule \(P(\text{Cadre} | \text{Femme}) = \frac{60}{150} = 0.4\), soit 40%.
• Affirmation 3 : C'est un excellent exemple pour montrer que comparer des effectifs bruts (60 femmes cadres > 50 hommes cadres) ne permet pas de conclure sur les proportions. En calculant les fréquences conditionnelles (\(P(\text{Cadre} | \text{Femme}) = 40\%\) et \(P(\text{Cadre} | \text{Homme}) = 50\%\)), on s'aperçoit que la proportion de cadres est en réalité plus élevée chez les hommes.
• Affirmation 4 : Cette question porte sur les propriétés des proportions. Une fréquence est un ratio. Si l'on double tous les effectifs, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont tous deux multipliés par 2. Le facteur 2 se simplifie, et la fréquence reste donc inchangée.