Ce sujet de contrôle de mathématiques pour Première STI2D porte sur les chapitres fondamentaux de la dérivation locale et globale. D'une durée d'1h30, cette évaluation, avec calculatrice autorisée, est conçue pour tester la maîtrise des concepts clés de l'analyse de fonctions. Vous y trouverez un corrigé détaillé pour vous aider à progresser. Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser, ainsi que pour les enseignants cherchant des supports pédagogiques. Les exercices couvrent la lecture graphique du nombre dérivé, le calcul de fonctions dérivées, la détermination d'équations de tangente et la résolution d'un problème d'optimisation complet.

Exercice 1 : Lecture graphique

Cet exercice se concentre sur l'interprétation graphique des notions de base de la dérivation. On étudie une fonction f représentée par sa courbe C_f, ainsi que deux de ses tangentes.

• Question 1 : Il s'agit d'une simple lecture graphique des images. On lit directement sur le graphique les coordonnées des points A et B pour trouver f(0) et f(1). Le point A d'abscisse 0 a pour ordonnée 4, donc \(f(0)=4\). Le point B d'abscisse 1 a pour ordonnée 2, donc \(f(1)=2\).
• Question 2 : Cette question évalue la capacité à déterminer graphiquement un nombre dérivé, qui correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point.
  • Pour calculer f'(0), on utilise la tangente T₀ au point A(0; 4). On sait que cette droite passe par le point D(1; 1). Le coefficient directeur est donc calculé par la formule \(m = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{1 - 4}{1 - 0} = -3\). Ainsi, \(f'(0) = -3\).
  • Pour f'(1), on observe la tangente T₁ au point B. Cette tangente est horizontale, ce qui signifie que son coefficient directeur est nul. Par conséquent, \(f'(1) = 0\).
• Question 3 : On demande de déduire l'équation réduite de la tangente T₀. On utilise la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\). Avec \(a=0\), on a \(y = f'(0)(x-0) + f(0)\). En utilisant les valeurs trouvées précédemment, l'équation est \(y = -3x + 4\).
• Question 4 : Il faut calculer le taux de variation de f entre 0 et 2. La formule du taux de variation est \(\tau = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\). Ici, \(a=0\) et \(b=2\). On sait que \(f(0)=4\) et l'énoncé donne \(f(2)=6\). Le calcul donne \(\tau = \frac{6 - 4}{2 - 0} = 1\). Graphiquement, ce taux de variation représente le coefficient directeur de la droite sécante à la courbe C_f passant par les points d'abscisses 0 et 2.

Exercice 2 : Calculs de dérivées

Cet exercice est un test direct des compétences calculatoires sur les fonctions dérivées, un pilier du chapitre sur la dérivation globale.

• Question 1 : On doit calculer la fonction dérivée de quatre fonctions différentes.
  • \(g(x) = 4x^2 - 5x + 1\) : C'est un polynôme du second degré. En utilisant la formule \((x^n)' = nx^{n-1}\), on obtient \(g'(x) = 4 \times 2x - 5 = 8x - 5\).
  • \(h(x) = 2x^3 - x^2 + 7\) : Un autre polynôme. On dérive terme à terme pour trouver \(h'(x) = 2 \times 3x^2 - 2x = 6x^2 - 2x\).
  • \(k(x) = -0,5x^3 + 3x\) : De même, \(k'(x) = -0,5 \times 3x^2 + 3 = -1,5x^2 + 3\).
  • \(m(x) = (2x - 1)(x+3)\) : Cette fonction est un produit de deux fonctions de la forme \(u(x)v(x)\). On utilise la formule \((uv)' = u'v + uv'\). Ici, \(u(x)=2x-1\) donc \(u'(x)=2\), et \(v(x)=x+3\) donc \(v'(x)=1\). On a alors \(m'(x) = 2(x+3) + (2x-1)(1) = 2x + 6 + 2x - 1 = 4x + 5\).
• Question 2 : Il faut retrouver l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 1. On applique la formule \(y = g'(a)(x-a) + g(a)\) avec \(a=1\).
  1. Calcul de \(g(1) = 4(1)^2 - 5(1) + 1 = 0\).
  2. Calcul de \(g'(x) = 8x-5\), donc \(g'(1) = 8(1)-5 = 3\).
  3. Application de la formule : \(y = 3(x-1) + 0\), ce qui donne \(y = 3x - 3\).

Exercice 3 : La boîte de plus grand volume

Ce problème d'optimisation est une application classique de la dérivation. L'objectif est de trouver les dimensions d'une boîte qui maximisent son volume.

• Questions 1 et 2 : La première étape est la modélisation. En découpant un carré de côté x à chaque coin d'une plaque de 30 cm de côté, la hauteur de la boîte devient x, et la base est un carré de côté \((30 - 2x)\). Le volume est donc \(V(x) = \text{côté} \times \text{côté} \times \text{hauteur} = (30-2x)^2 \times x\). En développant cette expression, on montre que \(V(x) = x(900 - 120x + 4x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).
• Question 3 : On calcule la dérivée de la fonction volume : \(V'(x) = 4 \times 3x^2 - 120 \times 2x + 900 = 12x^2 - 240x + 900\). On montre que \(V'(x) = 12(x-5)(x-15)\) en développant la forme factorisée.
• Question 4 : On étudie le signe de \(V'(x)\) sur l'intervalle \([0; 15]\). \(V'(x)\) est un polynôme du second degré qui s'annule en \(x=5\) et \(x=15\). Il est positif sur \([0; 5[\) et négatif sur \(]5; 15]\). On dresse le tableau de variation de V : croissante sur \([0; 5]\) et décroissante sur \([5; 15]\).
• Question 5 : Le tableau de variation montre que le volume V est maximal lorsque \(V'(x) = 0\) et que la dérivée change de signe du positif au négatif, c'est-à-dire pour \(x=5\). Le volume maximal est alors \(V(5) = 2000\) cm³.
• Question 6 : On calcule \(V(2) = 1352\) cm³. Le volume maximal étant de 2000 cm³, il est possible d'obtenir un volume de 1500 cm³. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une telle valeur de x.

Exercice 4 : Vrai ou Faux

Ce dernier exercice teste la compréhension théorique des concepts de dérivation.

1. Affirmation 1 : VRAI. Par définition, le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a. Si ce coefficient directeur est nul, la droite est horizontale.
2. Affirmation 2 : FAUX. La dérivée de la fonction \(x \mapsto x^3\) est \(x \mapsto 3x^2\). La formule utilisée est \((x^n)' = nx^{n-1}\).
3. Affirmation 3 : VRAI. Pour étudier le sens de variation de \(p(x) = x^3 + x\), on calcule sa dérivée : \(p'(x) = 3x^2 + 1\). Pour tout nombre réel x, \(x^2 \ge 0\), donc \(3x^2 + 1 > 0\). La dérivée est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), donc la fonction p est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).