Découvrez notre corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité. Ce sujet, d'une durée d'1h15, est un excellent entraînement portant sur deux chapitres clés du programme : les probabilités conditionnelles et les applications de la dérivation. Chaque exercice est analysé en profondeur pour vous aider à maîtriser les compétences essentielles et à vous préparer efficacement pour vos examens.
Ce document est une ressource pédagogique idéale pour les élèves de Première souhaitant consolider leurs connaissances, ainsi que pour les enseignants à la recherche de supports de qualité. La calculatrice est autorisée en mode examen.
Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles dans un Contexte Concret (6,5 points)
Cet exercice de probabilités nous plonge dans le monde de l'ostréiculture. Un producteur élève deux espèces d'huîtres, la « plate » et la « japonaise », et nous nous intéressons à leur calibre. C'est un cas d'étude classique pour appliquer les outils des probabilités conditionnelles.
- Question a : La première étape consiste à modéliser la situation. Il est demandé de construire un arbre pondéré complet. La première ramification sépare les huîtres plates (15%) des japonaises (85%). La seconde dépend de la première : on indique la probabilité pour chaque espèce d'être de calibre n°3.
- Question b : On calcule ici une probabilité d'intersection, celle que l'huître soit à la fois plate et de calibre n°3, notée \( P(\text{Plate} \cap C) \). Cela se fait en multipliant les probabilités le long de la branche correspondante de l'arbre.
- Question c : Pour justifier que la probabilité totale d'obtenir une huître de calibre n°3 est de 0,695, il faut utiliser la formule des probabilités totales. On somme les probabilités des deux chemins menant à l'événement C : \( P(C) = P(\text{Plate} \cap C) + P(\text{Japonaise} \cap C) \).
- Question d : C'est une question typique d'inversion d'arbre ou de calcul de probabilité conditionnelle "a posteriori". Sachant que l'huître est de calibre n°3, on cherche la probabilité qu'elle soit une plate. On applique la formule : \( P_{\text{C}}(\text{Plate}) = \frac{P(\text{Plate} \cap C)}{P(C)} \).
- Question e : La dernière question teste la compréhension de l'indépendance de deux événements. Pour savoir si C et J sont indépendants, on compare \( P(C \cap J) \) avec le produit \( P(C) \times P(J) \). S'il y a égalité, ils sont indépendants; sinon, ils sont dépendants.
Exercice 2 : Tirages Successifs dans une Urne (1,5 points)
Cet exercice plus court est une application directe des arbres de probabilités à un problème de tirage avec remise. Une urne contient 7 boules noires et 3 boules blanches. Un joueur gagne si les deux boules tirées successivement sont de couleurs différentes.
- On représente à nouveau la situation par un arbre pondéré à deux niveaux, le premier pour le premier tirage, le second pour le deuxième tirage. Comme le tirage est avec remise, les probabilités restent les mêmes à chaque niveau.
- Pour calculer la probabilité de gagner, on identifie les issues favorables : "Noire puis Blanche" et "Blanche puis Noire". On calcule la probabilité de chaque issue en multipliant les probabilités sur les branches, puis on les additionne pour obtenir la probabilité totale de l'événement "gagner".
Exercice 3 : Lien entre une Fonction et sa Dérivée (1 point)
Cet exercice graphique rapide évalue la capacité à faire le lien fondamental entre le sens de variation d'une fonction \(f\) et le signe de sa dérivée \(f'\). Étant donné la courbe représentative de \(f\), il faut identifier celle de \(f'\) parmi trois propositions.
Le raisonnement est le suivant :
- Là où \(f\) est décroissante, sa dérivée \(f'\) est négative (sa courbe est sous l'axe des abscisses).
- Là où \(f\) est croissante, sa dérivée \(f'\) est positive (sa courbe est au-dessus de l'axe des abscisses).
- Là où \(f\) admet un extremum (ici un minimum), sa dérivée \(f'\) s'annule (sa courbe coupe l'axe des abscisses).
Exercice 4 : Problème d'Optimisation (8 points)
Cet exercice complet est une application de la dérivation à un problème économique. Il s'agit de déterminer des conditions de production pour minimiser un coût et maximiser un bénéfice.
Partie A : Coût de production unitaire
On étudie la fonction coût unitaire \( U(x) = x - 10 + \frac{900}{x} \) pour \( x \in [10; 100] \).
- On commence par calculer la fonction dérivée \( U'(x) \). Il s'agit de dériver une somme de fonctions, dont une fonction inverse, ce qui mène à \( U'(x) = 1 - \frac{900}{x^2} \).
- L'étude du signe de la dérivée \( U'(x) \) est cruciale. Elle revient à étudier le signe de \( x^2 - 900 \), un polynôme du second degré.
- À partir du signe de \( U'(x) \), on dresse le tableau de variations complet de la fonction \( U \).
- On en déduit l'existence d'un extremum local (ici un minimum).
- Finalement, on résout le problème d'optimisation : trouver le nombre d'objets \(x\) qui rend le coût unitaire minimal et calculer ce coût.
Partie B : Étude du bénéfice
On s'intéresse maintenant à la fonction bénéfice \( B(x) = -x^2 + 110x - 900 \).
- La première étape est de vérifier l'expression de \( B(x) \) à partir de la recette et du coût total.
- On mène une étude de fonction complète pour \( B(x) \). On calcule sa dérivée \( B'(x) \), qui est une fonction affine, on étudie son signe, et on dresse le tableau de variations.
- L'étude de variations permet de trouver le bénéfice maximal de l'entreprise et le nombre d'objets à produire pour l'atteindre.
Exercice 5 : Étude d'une Fonction Rationnelle (3 points)
Le dernier exercice est une étude de fonction classique. On demande d'étudier les variations de la fonction \( f(x) = \frac{5x - 1}{3x - 2} \) sur son ensemble de définition \( \mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\} \).
La méthode est systématique :
- Calcul de la dérivée \( f'(x) \) en utilisant la formule de dérivation d'un quotient \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
- Étude du signe de la dérivée. Ici, le signe est constant, ce qui simplifie l'analyse.
- Construction du tableau de variations final, en indiquant la valeur interdite.