Ce sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de Terminale en spécialité est un excellent outil de révision. D'une durée d'une heure, il porte sur deux chapitres clés du programme : la loi binomiale et les limites de fonctions. Ce document vous permettra de vous entraîner sur des exercices types, de vérifier votre compréhension des concepts et de maîtriser les compétences essentielles pour le baccalauréat.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (10 points)

Cet exercice complet aborde plusieurs aspects des probabilités. Il s'agit d'une entreprise produisant des barres de céréales dans deux ateliers, avec un certain taux de non-conformité.

• Partie A : Arbre pondéré et probabilités conditionnelles

  La première partie consiste à modéliser la situation. On vous demande de construire un arbre pondéré pour représenter les probabilités associées aux ateliers de production (C et D) et à la conformité des barres (N et \(\bar{N}\)). Vous devrez ensuite utiliser cet arbre pour calculer des probabilités d'intersections, comme \(P(C \cap N)\). L'exercice vous amène à utiliser la formule des probabilités totales pour trouver une probabilité manquante, puis à calculer une probabilité conditionnelle \(P(N|D)\). Enfin, une question classique d'inversion de conditionnement (\(P(C|N)\)) fait appel à la formule de Bayes, un savoir-faire indispensable.

• Partie B : Variable aléatoire et espérance

  Cette partie introduit une variable aléatoire \(X\) représentant le gain (ou la perte) de l'entreprise par barre. Il faut d'abord établir la loi de probabilité de \(X\), c'est-à-dire lister les valeurs possibles pour \(X\) et les probabilités associées. Ensuite, on calcule l'espérance mathématique \(E(X)\), une valeur fondamentale qui représente le gain moyen par barre sur le long terme. L'interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise est cruciale.

• Partie C : Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

  La dernière partie se concentre sur la loi binomiale. On considère un lot de \(n=180\) barres et on s'intéresse au nombre de barres non conformes. Vous devrez d'abord justifier que la variable aléatoire \(Y\) suit une loi binomiale en vérifiant les conditions d'application d'un schéma de Bernoulli (répétition d'épreuves identiques et indépendantes). Le calcul d'une probabilité ponctuelle \(P(Y=17)\) se fait à l'aide de la calculatrice. Le calcul et l'interprétation de l'espérance \(E(Y)\) sont également demandés. Enfin, l'exercice se termine par la détermination d'un intervalle de confiance (ou "d'acceptation"), en cherchant le plus petit entier \(a\) tel que \(P(Y \le a) \ge 0.95\), une compétence très utile en prise de décision statistique.

Exercice 2 : Limites de Fonctions et Asymptotes (5 points)

Cet exercice teste votre capacité à manipuler les limites, d'abord par analyse graphique puis par le calcul direct.

• Partie A : Étude d'une fonction inverse à partir d'un tableau de variation

  À partir du tableau de variation d'une fonction \(f\), il faut étudier la fonction \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\). Cela implique de déterminer l'ensemble de définition de \(g\) et de calculer ses limites aux bornes. Cet exercice met en jeu les opérations sur les limites, notamment la limite d'un quotient. Par exemple, si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^+\), alors \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

• Partie B : Vrai ou Faux avec justification

  Cette partie demande une analyse rigoureuse de deux propositions sur les limites.

  La première proposition concerne la limite \(\lim_{x\to+\infty} \frac{x+2\sin(x)}{\sqrt{x}}\). Pour la résoudre, il est nécessaire d'utiliser le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) pour montrer que la limite du terme \(\frac{2\sin(x)}{\sqrt{x}}\) est 0, mais que le terme principal \(\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\) tend vers l'infini. La proposition est donc fausse.

  La seconde proposition affirme qu'une fonction définie avec une exponentielle, \(f(x) = 2 - \frac{5}{1-e^x}\), admet trois asymptotes. La justification passe par le calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition : en \(-\infty\) et \(+\infty\) pour trouver les asymptotes horizontales, et aux alentours du point où le dénominateur s'annule (\(x=0\)) pour trouver l'asymptote verticale.

Exercice 3 : Modélisation avec la Fonction Exponentielle (5 points)

Ce dernier exercice est un problème de modélisation classique utilisant une fonction de type logistique, qui fait intervenir la fonction exponentielle.

• Partie A : Identification des paramètres du modèle

  On modélise la propagation d'un virus par la fonction \(f(x) = \frac{K}{1+ae^{-x}}\). L'énoncé donne des informations graphiques et contextuelles pour trouver les paramètres \(K\) et \(a\). L'interprétation graphique d'une asymptote horizontale \(y=200\) permet de déduire la valeur de \(K\) en calculant la limite de \(f(x)\) en \(+\infty\). Ensuite, une condition initiale, le nombre de malades au temps \(t=0\), permet de calculer la valeur de \(a\).

• Partie B : Étude de la fonction modèle

  Une fois la fonction entièrement définie, \(f(x) = \frac{200}{1+39e^{-x}}\), l'étude se poursuit. Il faut d'abord justifier l'expression de la dérivée \(f'(x)\), ce qui demande de maîtriser la dérivation des fonctions composées avec l'exponentielle. L'étude du signe de cette dérivée permet ensuite de dresser le tableau de variation complet de la fonction, confirmant ainsi la croissance de l'épidémie jusqu'à un plateau, représenté par l'asymptote horizontale.

En résumé, ce contrôle de maths est un excellent test pour évaluer vos connaissances sur les probabilités, la loi binomiale, et l'analyse de fonctions avec les limites et l'exponentielle. Le corrigé détaillé vous aide à comprendre chaque étape du raisonnement.