Obtenez une analyse complète et un corrigé détaillé de ce sujet de maths de niveau Première (enseignement spécifique). Ce contrôle d'une durée de 1h30, sans calculatrice, est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les statistiques à deux variables, les probabilités conditionnelles, les suites arithmétiques et les fonctions affines.

Ce document est structuré en deux parties, conçues pour évaluer à la fois la rapidité de calcul et la capacité de raisonnement sur des problèmes concrets.

Partie 1 : Automatismes (4 points)

Cette première partie est un QCM rapide qui teste les réflexes mathématiques essentiels. Aucune justification n'est demandée, seul le résultat compte. Les compétences évaluées sont :

• Pourcentages et évolutions : Calculer un prix après une augmentation de 8%, déterminer un taux de variation (par exemple, la baisse de 250 à 200), et trouver un taux d'évolution réciproque pour revenir à une valeur initiale.
• Fonctions affines : Retrouver l'équation réduite d'une droite (\(y = mx + p\)) en connaissant son coefficient directeur (\(m = -3\)) et un point (l'ordonnée à l'origine \((0 ; 2)\)).
• Statistiques et Probabilités : Calculer une fréquence conditionnelle, déterminer les coordonnées du point moyen \(G\) d'un nuage de trois points, et appliquer la formule des probabilités composées \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\).
• Suites numériques : Calculer un terme de rang 10 d'une suite arithmétique connaissant son premier terme \(u(0)=5\) et sa raison \(r=3\), en utilisant la formule \(u(n) = u(0) + n \times r\).

Partie 2 : Exercice 1 - Les lecteurs du journal régional (6 points)

Cet exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles utilisant un tableau à double entrée. Il permet de travailler la lecture et l'interprétation de données.

• Remplir un tableau croisé d'effectifs.
• Calculer et interpréter des fréquences marginales et conditionnelles.
• Modéliser une situation avec les événements \(J\) (« le lecteur a moins de 40 ans ») et \(P\) (« le lecteur lit le journal sur papier »).
• Calculer \(P(J)\), \(P(P)\), et \(P(J \cap P)\).
• Calculer la probabilité conditionnelle \(P_P(J)\) et expliquer sa signification.
• Justifier si deux événements sont indépendants en vérifiant si \(P(J \cap P) = P(J) \times P(P)\).

Partie 2 : Exercice 2 - Le prix d'un menu de restauration rapide (5 points)

Ce second exercice aborde les statistiques à deux variables et l'ajustement affine. Il s'agit d'analyser l'évolution d'un prix dans le temps.

• Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) d'une série statistique.
• Utiliser une droite d'ajustement affine donnée (\(y = 0,6x + 7,1\)) pour faire des prédictions.
• Vérifier qu'un point (ici, le point moyen \(G\)) appartient à une droite.
• Interpréter la signification du coefficient directeur dans le contexte de l'exercice (l'augmentation annuelle moyenne du prix).
• Distinguer interpolation (estimation dans l'intervalle des données) et extrapolation (estimation en dehors).
• Résoudre une inéquation du premier degré (\(0,6x + 7,1 > 14\)) pour déterminer une année seuil.

Partie 2 : Exercice 3 - Le permis de conduire de Maëlle (5 points)

Ce dernier exercice est un problème de modélisation qui combine deux chapitres : les suites arithmétiques et les fonctions affines.

Partie A : Les économies

• Modéliser une situation d'épargne mensuelle par une suite arithmétique \((e_n)\).
• Déterminer la nature de la suite, sa raison, et sa forme explicite (\(e_n = 350 + 60n\)).
• Résoudre une inéquation pour savoir quand un certain budget sera atteint.

Partie B : Le choix de l'auto-école

• Modéliser les tarifs de deux concurrents par des fonctions affines (\(c_A(h) = 1100 + 45h\) et \(c_B(h) = 900 + 55h\)).
• Interpréter les paramètres de ces fonctions (ordonnée à l'origine comme forfait, coefficient directeur comme coût horaire).
• Résoudre une équation (\(c_A(h) = c_B(h)\)) pour trouver le point d'intersection, c'est-à-dire le nombre d'heures pour lequel les deux offres sont équivalentes.
• Comparer les deux fonctions pour prendre une décision en fonction d'un nombre d'heures prévisionnel.