Obtenez le corrigé détaillé de ce contrôle de mathématiques de Seconde portant sur le chapitre des vecteurs (deuxième partie). Cette évaluation d'une heure est un excellent moyen de s'entraîner et de valider ses connaissances sur les calculs de coordonnées, les propriétés des figures géométriques et la colinéarité. Ce sujet de maths est accompagné de son corrigé pour une préparation optimale.

Ce contrôle sur les vecteurs aborde les compétences clés du programme de Seconde :

• Calcul de coordonnées de vecteurs, de milieux et de points définis par une relation vectorielle.
• Utilisation de la norme pour déterminer la nature d'un triangle.
• Caractérisation d'un parallélogramme à l'aide de l'égalité vectorielle.
• Application de la condition de colinéarité (déterminant) pour résoudre des problèmes.
• Démonstration de l'alignement de points dans le plan.

Exercice 1 : Nature d'un triangle et d'un quadrilatère (5 points)

Cet exercice est un classique sur l'utilisation des coordonnées dans un repère orthonormé pour étudier des figures planes.

1. Déterminer la nature du triangle ABC : Pour répondre à cette question, il faut calculer les longueurs des trois côtés du triangle, qui correspondent aux normes des vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) et \(\vec{AC}\). On commence par calculer les coordonnées de ces vecteurs, par exemple \(\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\). Ensuite, on calcule leurs normes au carré : \(||\vec{AB}||^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2\). En comparant les longueurs, on peut déterminer si le triangle est isocèle ou équilatéral. Pour savoir s'il est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore.
2. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme : La propriété fondamentale d'un parallélogramme ABCD est l'égalité vectorielle \(\vec{AB} = \vec{DC}\). En notant \(D(x, y)\), on exprime les coordonnées des deux vecteurs et on résout le système de deux équations pour trouver \(x\) et \(y\).
3. Quelle est finalement la nature du quadrilatère ABCD ? En combinant les informations des questions précédentes, on peut préciser la nature du parallélogramme. Si le triangle ABC est isocèle en B (\(AB=BC\)), alors le parallélogramme est un losange. Si le triangle est rectangle en B, alors c'est un rectangle. Si les deux conditions sont réunies, c'est un carré.

Exercice 2 : Égalités vectorielles (5 points)

Cet exercice se concentre sur la recherche des coordonnées d'un point M vérifiant différentes conditions vectorielles.

• a) \(\vec{AM} = \vec{BC}\) : Il s'agit d'une application directe du calcul de coordonnées. On calcule d'abord les coordonnées du vecteur \(\vec{BC}\). Puis, on exprime les coordonnées de \(\vec{AM}\) en fonction de celles de M, notées \((x_M, y_M)\). L'égalité des vecteurs se traduit par une égalité des coordonnées, ce qui donne un système simple à résoudre.
• b) ABMC est un parallélogramme : Cette condition se traduit par l'égalité \(\vec{AB} = \vec{CM}\). La méthode est identique à la question a) et à la question 2 de l'exercice 1.
• c) \(2\vec{MA} + 3\vec{MB} + 6\vec{CM} = \vec{AB}\) : Cette question est plus complexe et demande de la rigueur. Il faut exprimer tous les vecteurs en fonction des coordonnées de M \((x, y)\) et des points connus. Par exemple, \(\vec{MA}(3-x, -4-y)\). On obtient alors une équation vectorielle que l'on décompose en un système de deux équations linéaires (une pour les abscisses, une pour les ordonnées) d'inconnues \(x\) et \(y\).

Exercice 3 : Vecteurs colinéaires et norme (4 points)

Ici, on travaille avec des vecteurs dont les coordonnées dépendent d'un paramètre réel \(x\). C'est un excellent exercice pour lier vecteurs et résolution d'équations.

1. Pour quelle(s) valeur(s) du réel x les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ? Deux vecteurs \(\vec{u}(X, Y)\) et \(\vec{v}(X', Y')\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : \(XY' - YX' = 0\). En appliquant cette formule avec les coordonnées de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on obtient une équation du second degré en \(x\) à résoudre.
2. Montrer que \(||\vec{u}||^2 = x^2 - 12x + 40\) : Il suffit d'appliquer la formule de la norme au carré : \(||\vec{u}||^2 = (x-6)^2 + 2^2\). On développe ensuite l'identité remarquable pour retrouver l'expression demandée.
3. De même calculer \(||\vec{v}||^2\) : On procède de la même manière avec le vecteur \(\vec{v}\), en calculant \(||\vec{v}||^2 = (-3)^2 + (x+1)^2\).
4. Pour quelle(s) valeur(s) du réel x les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils de même norme ? Deux vecteurs ont la même norme si leurs normes au carré sont égales. On pose donc l'équation \(||\vec{u}||^2 = ||\vec{v}||^2\) en utilisant les expressions trouvées précédemment. Cela conduit à une équation (ici, du premier degré) à résoudre pour trouver la valeur de \(x\).

Exercice 4 : Centroid et alignement (6 points)

Cet dernier exercice fait la synthèse de nombreuses notions du chapitre, notamment le calcul vectoriel, les milieux et l'alignement de points.

1. Calculer les coordonnées du point G tel que \(3\vec{OG} = \vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}\) : Cette relation définit le centre de gravité (ou isobarycentre) du triangle DEF. En termes de coordonnées, cela se traduit par \(3x_G = x_D + x_E + x_F\) et \(3y_G = y_D + y_E + y_F\). Le calcul des coordonnées de G est donc direct.
2. Déterminer les coordonnées de A le milieu de [ED], et B milieu de [DF] : On applique simplement la formule du milieu d'un segment : \(x_{milieu} = \frac{x_1 + x_2}{2}\) et \(y_{milieu} = \frac{y_1 + y_2}{2}\).
3. Démontrer que F, G et A sont alignés puis que E, G et B sont alignés : Pour démontrer que trois points F, G, A sont alignés, il faut montrer que les vecteurs \(\vec{FG}\) et \(\vec{FA}\) sont colinéaires. On calcule leurs coordonnées, puis on vérifie la condition de colinéarité (par exemple, \(\det(\vec{FG}, \vec{FA})=0\)). On répète le processus pour les points E, G, B. Cet exercice illustre la propriété des médianes d'un triangle qui sont concourantes en G.