Analyse complète du contrôle de maths : Dérivation et Trigonométrie (Première Spécialité)

Ce sujet de mathématiques pour le niveau Première Spécialité est une excellente évaluation des compétences acquises dans les chapitres sur la dérivation globale et la trigonométrie. Il se compose de trois exercices variés : le premier est un test technique sur les formules de dérivation, le second porte sur la manipulation d'expressions trigonométriques complexes, et le troisième est un problème d'optimisation classique qui fait la synthèse de plusieurs notions. Ce contrôle corrigé est un outil précieux pour s'entraîner et maîtriser les attendus du programme.

Exercice 1 : Application des formules de dérivation

Cet exercice est un QCM de compétences sur la dérivation. Il vise à vérifier la maîtrise des différentes techniques de calcul de fonctions dérivées. Quatre fonctions sont à dériver, chacune illustrant une règle spécifique.

• Fonction f(x) = (x² - 7)(1 - 2x²) : Il s'agit de dériver un produit de deux fonctions polynômes. La formule à appliquer est celle de la dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv'. C'est un calcul fondamental pour les études de fonctions.
• Fonction t(x) = (x² + 3x - 7) / (x + 5) : Cette fonction est un quotient de deux polynômes. L'élève doit mobiliser la formule de la dérivée d'un quotient : (u/v)' = (u'v - uv') / v². Une attention particulière doit être portée à la gestion des signes et au développement du numérateur.
• Fonction w(x) = (5√x) / (7 - 3x) : Un autre quotient, mais avec une complexité supplémentaire : la présence de la fonction racine carrée. Il faut non seulement connaître la dérivée de √x, qui est 1/(2√x), but aussi l'intégrer correctement dans la formule du quotient.
• Fonction n(x) = (-5 + 3x)⁷ : Cette fonction est une composée de la forme u(x)ⁿ. La formule de dérivation des fonctions composées est requise : (uⁿ)' = n * u' * uⁿ⁻¹. C'est un cas particulier de la dérivation en chaîne, essentiel pour des fonctions plus complexes.

Exercice 2 : Maîtrise de la trigonométrie circulaire

Le deuxième exercice plonge les élèves au cœur du cercle trigonométrique. À partir d'une valeur admise pour cos(π/12), il faut utiliser les relations fondamentales pour trouver d'autres valeurs et simplifier une expression complexe.

1. Déterminer la valeur de sin(π/12) : Pour cette question, il faut utiliser la relation pythagoricienne fondamentale cos²(x) + sin²(x) = 1. Après avoir isolé sin²(π/12), il faut choisir le bon signe pour la racine carrée. Comme π/12 est dans le premier quadrant, son sinus est positif.
2. Simplifier une expression trigonométrique : L'expression A = cos(13π/12) - 3sin(7π/12) + 4cos(5π/12) doit être réécrite en fonction de cos(π/12) et sin(π/12). Cela nécessite une excellente connaissance des angles associés :
   • 13π/12 = π + π/12, donc cos(13π/12) = -cos(π/12).
   • 7π/12 = π/2 + π/12, donc sin(7π/12) = cos(π/12).
   • 5π/12 = π/2 - π/12, donc cos(5π/12) = sin(π/12).
3. Calcul de la valeur exacte : Une fois l'expression A simplifiée, il suffit de remplacer cos(π/12) et sin(π/12) par leurs valeurs exactes pour trouver le résultat final. C'est une question de synthèse qui valide la compréhension des étapes précédentes.

Exercice 3 : Résolution d'un problème d'optimisation

Ce dernier exercice est un problème concret d'application de la dérivation : l'optimisation. Il s'agit de trouver la position d'un point P sur une parabole d'équation y = -2/9 * x² + 8 pour que l'aire d'un triangle soit maximale.

La démarche à suivre est une méthode classique pour les problèmes d'optimisation :

• Analyse de la fonction à optimiser : La fonction aire est donnée : A(x) = 1/9 * (x + 6)(36 - x²) sur l'intervalle ]-6; 6[. La première étape est de développer cette expression pour obtenir un polynôme du troisième degré.
• Étude des variations : Pour trouver le maximum de cette fonction, on doit étudier son sens de variation. Cela passe par le calcul de sa dérivée A'(x), qui sera un polynôme du second degré.
• Recherche des extremums : L'étude du signe de la dérivée A'(x) (en calculant son discriminant et ses racines) permet de dresser le tableau de variation de A(x). Le maximum de l'aire est alors clairement identifié dans le tableau.
• Conclusion : Une fois l'abscisse x maximisant l'aire trouvée, il ne reste plus qu'à calculer l'ordonnée y correspondante en utilisant l'équation de la parabole pour donner les coordonnées complètes du point P. Cet exercice montre comment la dérivation est un outil puissant pour résoudre des problèmes de recherche de maximum ou de minimum.