Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale spécialité, portant sur des rappels essentiels de Première. Ce sujet balaye trois grands thèmes : l'étude de fonctions, les probabilités conditionnelles et les suites numériques. Idéal pour réviser et consolider ses bases avant d'aborder les chapitres plus complexes de Terminale.
Ce document est une ressource pédagogique complète, analysant chaque question pas à pas pour une compréhension optimale. Mots-clés : contrôle corrigé, sujet de maths, Terminale spécialité, rappels de Première, fonctions, suites, probabilités, dérivation, arbre pondéré.
Exercice 1 : Étude d'une fonction
Cet exercice se concentre sur l'analyse complète d'une fonction polynôme du troisième degré, définie par \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x – 63 \). L'objectif est de mobiliser les outils de la dérivation pour comprendre son comportement.
- Question 1 : Calcul de la dérivée
Il s'agit d'appliquer les formules de dérivation des fonctions usuelles. Pour un polynôme, on dérive chaque terme : la dérivée de \( x^n \) est \( nx^{n-1} \). On obtient ainsi \( f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 \). - Question 2 : Étude des variations
Pour déterminer les variations de \( f \), on étudie le signe de sa dérivée \( f'(x) \). On remarque que \( f'(x) = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x+1)^2 \). Comme un carré est toujours positif ou nul, \( f'(x) \ge 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). La fonction \( f \) est donc strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). - Question 3 : Tangente parallèle à une droite
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \( a \) est \( f'(a) \). La droite donnée a pour équation \( y = 3x – 100 \), son coefficient directeur est 3. On doit donc résoudre l'équation \( f'(x) = 3 \), soit \( 3x^2 + 6x + 3 = 3 \), qui se simplifie en \( 3x^2 + 6x = 0 \). Les solutions sont \( x=0 \) et \( x=-2 \). Il y a donc deux points sur la courbe où la tangente est parallèle à la droite donnée.
Exercice 2 : Probabilités
Cet exercice aborde les probabilités conditionnelles à travers un problème concret de gestion de stock. Il met en œuvre l'utilisation des arbres pondérés pour modéliser une situation et calculer des probabilités.
- Question 1 : Arbre pondéré
On traduit l'énoncé en un arbre de probabilités. La première branche sépare les magazines selon leur fournisseur (A ou B) avec les probabilités \( P(A) = 0.4 \) et \( P(B) = 0.6 \). À partir de chaque fournisseur, une seconde branche indique si le magazine est vendu (S) ou non (\( \bar{S} \)). On y place les probabilités conditionnelles comme \( P_A(S) = 0.85 \). - Question 2 : Calcul d'intersection
On demande la probabilité que le magazine provienne de A et soit vendu, ce qui correspond à \( P(A \cap S) \). Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent : \( P(A \cap S) = P(A) \times P_A(S) = 0.4 \times 0.85 = 0.34 \). - Question 3 : Formule des probabilités totales
La probabilité totale de l'événement S est la somme des probabilités des chemins menant à S : \( P(S) = P(A \cap S) + P(B \cap S) \). En utilisant les données, on a \( 0.91 = 0.34 + P(B) \times P_B(S) \), ce qui permet de démontrer la relation donnée et de calculer la probabilité conditionnelle \( P_B(S) \). - Question 4 : Probabilité a posteriori
Ici, on cherche la probabilité que le magazine provienne du fournisseur B sachant qu'il a été vendu, soit \( P_S(B) \). C'est un exemple classique d'inversion de conditionnement, calculé avec la formule : \( P_S(B) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} \).
Exercice 3 : Suites numériques
Cet exercice modélise une situation d'évolution (réduction de déchets) à l'aide d'une suite numérique. Il s'agit d'identifier la nature de la suite et de l'utiliser pour faire des prévisions.
- Question 1 et 2 : Nature de la suite
Une réduction annuelle de 1,5% signifie que chaque année, la masse est multipliée par un même coefficient : \( 1 - \frac{1.5}{100} = 0.985 \). La suite \( (d_n) \) est donc une suite géométrique de raison \( q=0.985 \) et de premier terme \( d_0 = 400 \). - Question 3 : Forme explicite et calcul de terme
La forme explicite d'une suite géométrique est \( d_n = d_0 \times q^n \). Pour ce problème, \( d_n = 400 \times (0.985)^n \). On peut alors calculer la masse de déchets pour n'importe quelle année, par exemple 2022 (qui correspond à \( n=4 \)). - Question 4 : Détermination d'un rang
On cherche le premier entier \( n \) tel que \( d_n < 365 \), soit \( 400 \times (0.985)^n < 365 \). Cette inéquation peut être résolue en utilisant la fonction table d'une calculatrice pour trouver le rang à partir duquel la condition est remplie.
Bonus : Algorithme Python
Le bonus propose de traduire la recherche de la question 4 en un programme informatique. Il faut écrire une fonction Python qui, à l'aide d'une boucle `while`, simule l'évolution année par année jusqu'à ce que la masse de déchets passe sous le seuil de 365 kg, et retourne alors l'année correspondante.