Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale spécialité. Ce contrôle complet de 4 heures, type sujet de bac, balaye les chapitres clés du programme : les suites numériques, les probabilités, la géométrie dans l'espace et l'analyse de fonctions. Idéal pour s'entraîner et réviser efficacement avant l'épreuve finale. Ce sujet corrigé vous permettra de vous évaluer sur des exercices concrets et de maîtriser les compétences essentielles attendues.
Exercice 1 : Suites Numériques et Modélisation
Cet exercice porte sur la modélisation d'un phénomène biologique à l'aide d'une suite arithmético-géométrique. On étudie la concentration d'un médicament dans le sang d'un patient au fil du temps.
- Modélisation : La première étape consiste à traduire l'énoncé pour justifier la relation de récurrence de la suite \( (u_n) \) : \( u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25 \), où \( u_n \) est la quantité de médicament en mg après \( n \) périodes de 30 minutes.
- Raisonnement par récurrence : Une question clé demande de démontrer par récurrence que la suite est croissante et majorée, c'est-à-dire que pour tout entier naturel \( n \), on a \( u_n \le u_{n+1} < 5 \). Cette double compétence est fondamentale.
- Convergence et limite : En s'appuyant sur le théorème de la limite monotone, il faut en déduire que la suite est convergente et calculer sa limite \( L \), qui représente la concentration à long terme du médicament.
- Algorithmique : La partie algorithmique vous demande de compléter un script Python utilisant une boucle `while` pour déterminer le moment où le traitement devient efficace (c'est-à-dire quand \( u_n \ge 1,8 \) mg).
- Application et interprétation : L'exercice se conclut par une question d'interprétation, demandant si le traitement présente un risque toxique (dépassement d'un seuil de 3 mg), ce qui mobilise la compréhension du comportement de la suite.
Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Lois de Probabilité
Ce second exercice, très complet, aborde plusieurs aspects du calcul des probabilités, des probabilités conditionnelles à la loi binomiale.
- Partie A - Probabilités conditionnelles : On commence par un problème classique de probabilités conditionnelles dans le contexte d'une association sportive. Il faut savoir construire et utiliser un arbre pondéré, appliquer la formule des probabilités totales pour trouver la probabilité d'un événement, et enfin calculer une probabilité conditionnelle 'inversée'.
- Partie B - Loi binomiale : Cette partie modélise une situation de loterie hebdomadaire. Il est crucial de justifier l'utilisation d'une loi binomiale en vérifiant ses conditions d'application (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes). On calcule ensuite une probabilité spécifique \( P(Y=2) \). Une question plus avancée demande de déterminer le nombre minimal de semaines pour que la probabilité d'un événement atteigne un certain seuil ( \( p_n \ge 0,99 \) ), ce qui nécessite la résolution d'une inéquation avec des puissances et l'usage du logarithme.
- Variable aléatoire et espérance : La dernière partie de l'exercice introduit une nouvelle variable aléatoire \( X \) associée à un gain. Il faut déterminer sa loi de probabilité à partir d'un arbre de probabilités (tirages successifs sans remise) et calculer son espérance mathématique pour interpréter le gain moyen du joueur.
Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (QCM)
L'exercice 3 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui teste vos connaissances en géométrie vectorielle et analytique dans l'espace. Le cadre est un cube de côté 1 dans un repère orthonormé.
- Position relative de droites : La première question évalue votre capacité à déterminer si deux droites de l'espace sont parallèles, sécantes ou non coplanaires en étudiant leurs vecteurs directeurs.
- Produit scalaire : On vous demande de calculer un produit scalaire de deux vecteurs \( \vec{AF} \cdot \vec{BG} \) en utilisant leurs coordonnées dans le repère donné.
- Équation cartésienne de plan : Une question essentielle porte sur la détermination de l'équation cartésienne du plan \( (AFH) \). Il faut savoir utiliser un vecteur normal ou trois points non alignés pour la trouver.
- Vecteur normal : Il faut identifier, parmi plusieurs propositions, un vecteur normal au plan \( P \), ce qui est directement lié à l'équation cartésienne.
- Intersection droite-plan : La dernière question, plus complexe, concerne les coordonnées du point d'intersection \( L \) de la droite \( (EC) \) et du plan \( P \), testant implicitement votre capacité à résoudre un système d'équations.
Exercice 4 : Analyse de Fonction Exponentielle
Le dernier exercice est une étude de fonction classique mais complète, centrée sur la fonction \( f(x) = x e^{x-1} + 1 \). Il couvre l'étude des variations, la recherche de tangentes et l'étude de la convexité.
- Partie A - Étude de la fonction : Cette partie suit le plan d'étude standard. Vous devez calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition (en \( -\infty \) et \( +\infty \)), en utilisant notamment les croissances comparées. Le calcul de la dérivée \( f'(x) \) est nécessaire pour étudier son signe et dresser le tableau de variation complet de \( f \).
- Partie B - Tangente particulière : On s'intéresse ici à l'existence d'une tangente à la courbe passant par l'origine. Il faut d'abord établir l'équation de la tangente en un point d'abscisse \( a \). Ensuite, on montre que la condition pour qu'elle passe par l'origine se ramène à une équation de la forme \( g(a) = 0 \). La démonstration de l'unicité de la solution fait appel au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) sur un intervalle donné.
- Partie C - Point d'inflexion : La dernière partie est consacrée à l'étude de la convexité de la fonction. Cela passe par le calcul de la dérivée seconde \( f''(x) \). L'étude du signe de \( f''(x) \) permet de déterminer la convexité de la courbe et de trouver les coordonnées de son unique point d'inflexion.