Introduction
Allez, c'est parti ! Aujourd'hui, on va voir la technique pour calculer \(u_{n+1}\) de \(u_n + 1\), \(u_{n+3}\), en fait tout ce que vous voulez, très simplement. Ce que j'aimerais que vous reteniez, c'est qu'une suite, ça marche comme une fonction.
Exemple avec une fonction
Je vous donne un exemple tout bête. Si vous avez \(f(g(x)) = 3x + 1\) et que je vous demande de calculer \(f(g(2))\), vous allez dire que \(f(g(2))\) n'est pas compliqué. Dans cette expression, j'ai remplacé \(x\) par 2. Du coup, dans cette expression, j'ai remplacé \(x\) par 2, ça fait \(3 \times 2 + 1\). Les suites, c'est exactement la même chose. Je vous montre.
Exemple avec une suite
Pour chaque suite, exprimez le terme demandé en fonction de \(n\). Donc, on a une suite \(u_n\) qui vaut \(3n + 1\) et on vous demande \(u_{n+1}\), un scénario classique. Un des erreurs que vous faites tous lors des contrôles, c'est que si dans le terme de la suite j'ai \(n\) qui est ici, et \(n+1\) qui est ici, dans le terme de cette suite, c'est exactement la même chose. Si \(u_{n+1}\), à la place de \(n\), je vais avoir \(n+1\), et à la place de \(n\), je vais avoir \(n+1\). Donc, ça change mon \(3n\) en \(3(n+1)\) et je rajoute \(+1\). Maintenant, je peux me permettre de développer : \(3(n+1) = 3n + 3\). Je n'oublie pas non plus le \(+1\) et ça me fait \(3n + 4\).
Je prends le point, on la refait. \(v_n = -n \times 5\). Donc, quand j'ai \(v_{n+1}\), si j'ai \(n+1\) ici, ça veut dire qu'à la place de \(n\), je vais avoir \(n+1\). Mon \(5\) ne bouge pas et le moins qui est devant, je n'oublie pas. Donc, \(-n+1 \times 5\) ça me fait \(-n+1 \times 5\). Je distribue le moins devant : \(-n \times 5 - 1 \times 5\), ça fait \(-5n - 5\).
Un peu plus compliqué maintenant, mais vraiment pas grand chose. Si j'ai \(r_n = -\frac{1}{n^2}\), donc si j'ai \(r_{n+1}\), à la place de \(n\), je vais avoir \(n+1\). Je reprends exactement l'expression qui est \(-\frac{1}{n^2}\). Le piège, c'est de dire que le carré ne touche que le \(n\), donc on a \(-\frac{1}{3n^2}\). Et non, parce que le carré touche tout le monde. Je vous rappelle que quand vous avez \(a^2 \times b^2\), par exemple \(3n^2\), c'est \(a^2 \times b^2\). Le carré se distribue sur les deux termes. Du coup, quand vous avez \(-\frac{1}{3n^2}\), ça fait \(-\frac{1}{3^2} \times n^2 = -\frac{1}{9} \times n^2 = -\frac{9}{n^2}\).
Ces techniques vous servent partout. Vous allez voir qu'elles vont vous servir notamment pour étudier les variations, parce que pour étudier les variations, vous allez être obligé de calculer \(u_{n+1}\). Autant vous dire que si vous vous trompez sur \(u_{n+1}\), votre étude des variations sera fausse. Donc, entraînez-vous, il faut que ces techniques s'incrustent. Allez, à vous de jouer !