📖 Fiche résumée

Introduction aux suites numériques en Première Spécialité Maths

Le chapitre sur les généralités sur les suites est une pierre angulaire du programme de mathématiques de la classe de Première en spécialité. Il introduit un nouveau type d'objet mathématique, les suites, qui sont des listes ordonnées de nombres. Cette notion, à la fois simple dans son principe et riche dans ses applications, est fondamentale pour aborder des concepts plus avancés comme les limites, les séries, et l'analyse en général. Cette fiche de révision a pour but de synthétiser les définitions essentielles, les différentes manières de générer une suite et les méthodes pour étudier leur comportement. Comprendre ces bases est indispensable pour maîtriser les chapitres suivants, notamment ceux sur les suites arithmétiques et géométriques.

Qu'est-ce qu'une suite numérique ? Définitions Fondamentales

Avant de plonger dans les calculs et les analyses, il est crucial de bien définir ce qu'est une suite et de maîtriser le vocabulaire associé. C'est le socle sur lequel repose toute la théorie.

Définition formelle d'une suite

Une suite numérique, notée le plus souvent (u_n), est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un unique nombre réel, noté u_n. Autrement dit, c'est une fonction de l'ensemble des entiers naturels ℕ (ou une partie de celui-ci) vers l'ensemble des nombres réels ℝ.

• n est appelé le rang ou l'indice du terme. C'est un entier naturel (0, 1, 2, 3, ...).
• u_n est le terme de rang n de la suite. C'est un nombre réel.

Il est important de ne pas confondre la suite (u_n), qui représente l'ensemble de tous les termes dans leur ordre, et le terme u_n, qui est un nombre spécifique de cette suite. Par exemple, si l'on considère la suite des nombres pairs, (u_n) serait (0, 2, 4, 6, ...) tandis que u₃ serait le nombre 6.

Vocabulaire : Terme, Rang et Terme Initial

Le terme initial d'une suite est le premier terme à partir duquel on commence à la définir. Le plus souvent, le premier rang est n=0, et le terme initial est donc u₀. Cependant, il est tout à fait possible de commencer une suite à n=1 (le terme initial est alors u₁) ou à n'importe quel autre entier naturel. L'énoncé du problème précisera toujours le rang du premier terme. Par exemple, la suite (v_n) définie pour tout n ≥ 2 par v_n = 1/(n-2) n'est pas définie pour n=0 ou n=1.

Comment générer une suite numérique ? Les deux modes de définition

Pour travailler avec une suite, il faut savoir comment ses termes sont calculés. Il existe deux manières principales de définir une suite : la forme explicite et la forme récurrente. Chacune a ses avantages et ses inconvénients.

La Forme Explicite : u_n = f(n)

Une suite est définie de manière explicite lorsque l'on dispose d'une formule qui permet de calculer directement n'importe quel terme u_n en fonction de son rang n. On écrit alors u_n = f(n), où f est une fonction.

Exemple : Soit la suite (u_n) définie pour tout n ∈ ℕ par u_n = 3n + 2.

Le grand avantage de cette forme est son efficacité. Pour calculer un terme de rang élevé, il n'est pas nécessaire de connaître les termes précédents. Si l'on veut calculer u₁₀₀, il suffit de remplacer n par 100 dans la formule :

u₁₀₀ = 3 × 100 + 2 = 302

Cette méthode est directe et puissante, permettant un accès instantané à n'importe quel élément de la suite.

La Forme par Récurrence : u_n+1 = f(u_n)

Une suite est définie par récurrence (ou de manière récurrente) lorsque sa définition se compose de deux éléments essentiels :

1. Le terme initial (par exemple u₀).
2. Une relation de récurrence, qui est une formule exprimant un terme en fonction du ou des termes précédents. La forme la plus courante est u_n+1 = f(u_n).

Exemple : Soit la suite (u_n) définie par son premier terme u₀ = -1 et la relation de récurrence u_n+1 = 3u_n + 2 pour tout n ∈ ℕ.

Avec cette méthode, les termes se calculent de proche en proche. Pour trouver u₁, on utilise u₀. Pour trouver u₂, on utilise u₁, et ainsi de suite.

• u₁ = 3u₀ + 2 = 3 × (-1) + 2 = -1
• u₂ = 3u₁ + 2 = 3 × (-1) + 2 = -1
• u₃ = 3u₂ + 2 = 3 × (-1) + 2 = -1

L'inconvénient majeur de la forme récurrente est qu'elle ne permet pas un accès direct aux termes éloignés. Pour calculer u₁₀₀, il faudrait d'abord calculer u₀, u₁, u₂, ..., u₉₉, ce qui peut être très laborieux.

Le Sens de Variation d'une suite : Comprendre son Comportement

Étudier le sens de variation (ou la monotonie) d'une suite, c'est déterminer si ses termes ont tendance à augmenter, à diminuer ou à rester constants au fur et à mesure que le rang n augmente. C'est une propriété fondamentale qui permet de décrire le comportement global de la suite.

Définitions : Suite Croissante, Décroissante et Constante

• Une suite (u_n) est croissante si, pour tout entier n, on a u_n+1 ≥ u_n. Chaque terme est supérieur ou égal au précédent.
• Une suite (u_n) est décroissante si, pour tout entier n, on a u_n+1 ≤ u_n. Chaque terme est inférieur ou égal au précédent.
• Une suite (u_n) est constante si, pour tout entier n, on a u_n+1 = u_n. Tous les termes sont égaux.
• Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Remarque : On parle de suite strictement croissante si u_n+1 > u_n et de suite strictement décroissante si u_n+1 < u_n.

Trois Méthodes pour Déterminer le Sens de Variation

Pour déterminer la monotonie d'une suite, plusieurs techniques existent. Le choix de la méthode la plus appropriée dépend souvent de la manière dont la suite est définie (explicite ou récurrente) et de la forme de son expression. Notre fiche de cours détaillée, disponible en téléchargement, vous fournira des exemples concrets pour chaque méthode.

Méthode 1 : Étude du signe de la différence u_n+1 - u_n

Cette méthode est la plus universelle et la plus fiable. Elle repose sur une idée simple : comparer deux nombres revient à étudier le signe de leur différence.

La démarche consiste à calculer l'expression de u_n+1 - u_n en fonction de n, puis à étudier son signe :

• Si pour tout n, u_n+1 - u_n ≥ 0, alors la suite (u_n) est croissante.
• Si pour tout n, u_n+1 - u_n ≤ 0, alors la suite (u_n) est décroissante.
• Si pour tout n, u_n+1 - u_n = 0, alors la suite (u_n) est constante.

Cette technique est particulièrement efficace pour les suites dont l'expression est une somme ou une différence, comme les polynômes en n.

Méthode 2 : Comparaison du quotient u_n+1 / u_n à 1

Cette deuxième méthode est très puissante, mais son utilisation est conditionnée par une hypothèse essentielle : elle ne s'applique qu'aux suites dont tous les termes sont strictement positifs. Il faut toujours commencer par vérifier cette condition.

Si pour tout n, u_n > 0, la démarche consiste à calculer le quotient u_n+1 / u_n et à le comparer à 1 :

• Si pour tout n, u_n+1 / u_n ≥ 1, alors la suite (u_n) est croissante.
• Si pour tout n, u_n+1 / u_n ≤ 1, alors la suite (u_n) est décroissante.
• Si pour tout n, u_n+1 / u_n = 1, alors la suite (u_n) est constante.

Cette méthode est particulièrement adaptée aux suites définies par des produits, des puissances ou des factorielles, car le quotient simplifie souvent les expressions.

Méthode 3 : Étude de la fonction associée f(x)

Cette dernière méthode est réservée aux suites définies de manière explicite par une formule u_n = f(n). L'idée est d'étudier la fonction f(x) pour en déduire les variations de la suite (u_n).

Le théorème sous-jacent est le suivant : si la fonction f est monotone sur un intervalle [a, +∞[, alors la suite (u_n) définie par u_n = f(n) est également monotone pour tout n ≥ a.

La démarche est la suivante :

1. Poser f(x) l'expression de u_n où n est remplacé par la variable réelle x.
2. Étudier les variations de f, généralement en calculant sa dérivée f'(x) et en étudiant son signe.
3. En déduire le sens de variation de la suite (u_n).

Attention, si la fonction est croissante sur [0, +∞[, alors la suite est croissante. Mais la réciproque n'est pas toujours vraie. Une suite peut être croissante sans que la fonction associée le soit sur tout l'intervalle.

Conclusion : Une étape fondamentale

Ce tour d'horizon des généralités sur les suites numériques met en lumière les concepts clés que tout élève de Première spécialité maths doit maîtriser. La distinction entre forme explicite et récurrente, ainsi que la maîtrise des différentes méthodes pour déterminer le sens de variation, sont des compétences essentielles. Elles constituent la base sur laquelle s'appuieront des études plus complexes. Pour approfondir chaque notion avec des exemples corrigés, des astuces méthodologiques et des exercices d'application, consultez et téléchargez notre fiche de cours complète sur Galilee.ac. C'est un outil précieux pour consolider vos connaissances et vous préparer efficacement aux évaluations.