Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale spécialité est centré sur le chapitre des équations différentielles. D'une durée d'une heure, cette évaluation est composée de deux exercices principaux qui balayent les compétences essentielles du programme sur ce thème. Le premier exercice combine l'étude d'une fonction avec exponentielle et la résolution d'une équation différentielle dans le cadre d'un problème de modélisation. Le second exercice est un QCM à réponse directe qui vérifie la maîtrise des techniques de résolution pour les équations de type $y' = ay+b$ et $y' = ay+f(x)$. Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Exercice 1 : Modélisation et Étude de Fonction

Cet exercice est divisé en deux parties interdépendantes. Il évalue la capacité à analyser une fonction et à appliquer les résultats à la résolution d'un problème concret régi par une équation différentielle.

Partie A : Étude de la fonction $f(t) = 0,5te^{-0,5t}$

• Limite en $+\infty$ : La première question demande de déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $t$ tend vers l'infini. Il s'agit d'une forme indéterminée de type "$\infty \times 0$". L'élève doit mobiliser ses connaissances sur les croissances comparées entre les fonctions puissance et exponentielle pour conclure que $ \lim_{t \to +\infty} f(t) = 0 $.
• Étude des variations : La seconde question consiste à dresser le tableau de variations complet de $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$. Cela nécessite de :
  • Calculer la dérivée $f'(t)$ en utilisant la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$.
  • Étudier le signe de la dérivée $f'(t)$ pour en déduire les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction $f$.
  • Calculer la valeur du maximum atteint par la fonction.

Partie B : Application à la pharmacocinétique

Cette partie utilise la fonction $f$ pour modéliser la quantité d'un principe actif dans le sang d'un animal au cours du temps. La fonction $g(t)$, qui représente cette quantité, est solution de l'équation différentielle $(E) : y' + 0,5y = 0,5e^{-0,5t}$.

• Recherche d'une solution particulière : Il est demandé de trouver un réel $a$ pour que la fonction $u(t) = ate^{-0,5t}$ soit une solution de $(E)$. C'est une application directe de la méthode de vérification, qui consiste à dériver $u(t)$, à substituer $u$ et $u'$ dans $(E)$ et à résoudre l'équation obtenue pour trouver $a$.
• Résolution de l'équation homogène : L'étape suivante est la résolution de l'équation différentielle homogène associée $y' + 0,5y = 0$. Il s'agit d'une équation de la forme $y' = ay$, dont les solutions sont de la forme $y(t) = Ce^{at}$.
• Solution générale de (E) : En combinant la solution particulière et la solution générale de l'équation homogène, on obtient l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
• Utilisation d'une condition initiale : La question 2 impose une condition initiale : la quantité de principe actif est nulle à l'instant $t=0$. En utilisant cette information ($g(0)=0$), on détermine la valeur de la constante $C$ et on montre que la solution unique est bien la fonction $f$ de la Partie A.
• Analyse d'un algorithme Python : La dernière question porte sur l'interprétation d'un script Python. L'algorithme calcule, à l'aide d'une boucle `while`, le premier instant (en heures, entier) à partir duquel la quantité de médicament devient inférieure à un seuil de 0,1 mg.

Exercice 2 : Application des Formules de Résolution

Cet exercice, plus direct, vise à évaluer la maîtrise des méthodes de résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre. Les réponses sont à compléter sans justification.

• Équation de la forme $y' + ay = b$ : La première partie concerne l'équation $(E_1) : y' + 2y = -8$. Il faut :
  1. Donner l'ensemble des solutions de $(E_1)$, qui sont de la forme $y(x) = Ce^{-2x} + 4$.
  2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition $f(1) = 4$.
  3. Esquisser l'allure de la courbe représentative de cette solution, en précisant l'équation de son asymptote horizontale en $+\infty$, qui est la droite d'équation $y=4$.
• Équation avec second membre trigonométrique : La seconde partie traite de l'équation $(E_2) : y' - y = 2 \cos(x) + 4 \sin(x)$.
  1. Il est demandé de trouver une solution particulière de la forme $y_p(x) = a \cos(x) + b \sin(x)$. La méthode consiste à dériver $y_p$, à l'injecter dans $(E_2)$ et à identifier les coefficients de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ pour trouver $a$ et $b$.
  2. Enfin, il faut donner l'ensemble des solutions de $(E_2)$ en additionnant la solution particulière $y_p$ trouvée et la solution générale de l'équation homogène $y' - y = 0$.