Ce sujet de mathématiques de niveau Première (spécialité) est une évaluation complète d'une heure sur le chapitre des fonctions trigonométriques. Il couvre les compétences essentielles liées au cercle trigonométrique, à la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi qu'à l'étude de fonctions sinus et cosinus. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant s'entraîner et valider leurs connaissances.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue les bases de la trigonométrie. Il est conçu pour tester la rapidité et la précision des élèves sur des concepts clés.

• Question 1 : Il s'agit de déterminer le quadrant d'un angle \(x\) à partir du signe de son cosinus (\(\cos(x) > 0\)) et de son sinus (\(\sin(x) < 0\)). Cela requiert une bonne maîtrise du cercle trigonométrique.
• Question 2 : En connaissant la valeur de \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) et le signe de \(\sin(x) > 0\), on doit trouver la valeur de \(\sin(x)\). Cette question fait appel à la relation fondamentale de la trigonométrie : \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).
• Question 3 : Il faut identifier une mesure de l'angle \(x\) pour laquelle \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) et \(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). C'est une application directe de la connaissance des angles remarquables.
• Question 4 : On demande de trouver les coordonnées du point image de l'angle \(\frac{4\pi}{3}\) sur le cercle trigonométrique. Il faut donc calculer \(\cos(\frac{4\pi}{3})\) et \(\sin(\frac{4\pi}{3})\).

Exercice 2 : Angles et points sur le cercle trigonométrique

Cet exercice se concentre sur la manipulation des angles, notamment leur simplification et leur placement sur le cercle.

• Question 1 : La tâche est de justifier si les réels \(\frac{47\pi}{3}\) et \(-\frac{73\pi}{3}\) sont associés au même point sur le cercle. Cela implique de comprendre la notion d'angles congrus modulo \(2\pi\) et de savoir trouver la mesure principale d'un angle.
• Question 2 : Il s'agit de placer avec précision les points A, B, C, et D associés aux angles \(\frac{5\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\) et \(\frac{22\pi}{4}\) sur le cercle. Une justification par le calcul est demandée pour le point D, ce qui nécessite de simplifier l'angle \(\frac{22\pi}{4}\) pour le ramener à une valeur plus simple à placer.

Exercice 3 : Équations et inéquations trigonométriques

Cet exercice est au cœur du chapitre et teste la capacité à résoudre des problèmes trigonométriques de manière analytique et graphique.

• Question 1 : Résolution de deux équations. La première, \(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), doit être résolue sur l'intervalle \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). La seconde, \(\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), sur l'intervalle plus large \(]-\pi; 3\pi]\). Cela demande de trouver toutes les solutions dans les intervalles donnés.
• Question 2 : Résolution de deux inéquations. Les élèves doivent résoudre \(2\cos(x) \ge -\sqrt{3}\) sur \([-\pi; \pi[\) et \(2\sin(x) - 1 < 0\) sur \([0; 2\pi[\). Une justification à l'aide du cercle trigonométrique est exigée, montrant la capacité à visualiser les ensembles de solutions.

Exercice 4 : Étude d'une fonction trigonométrique

Cet exercice aborde l'analyse de fonction en appliquant les concepts de parité, périodicité et encadrement à une fonction trigonométrique spécifique, \(f(x) = 3 + 2\sin(\frac{x}{2})\).

• Question 1 : Étude de la parité de la fonction \(f\). Il faut calculer \(f(-x)\) et le comparer à \(f(x)\) pour conclure si la fonction est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
• Question 2 : Démontrer que la fonction est périodique et préciser sa période. Cela implique de trouver le plus petit réel \(T > 0\) tel que \(f(x+T) = f(x)\) pour tout \(x\).
• Question 3 : Montrer que la fonction \(f\) est bornée, c'est-à-dire que pour tout réel \(x\), \(1 \le f(x) \le 5\). La démonstration part de l'encadrement connu de la fonction sinus : \(-1 \le \sin(X) \le 1\).

Exercice 5 : Vrai ou Faux et formules de trigonométrie

Le dernier exercice teste la maîtrise des formules de trigonométrie et la rigueur du raisonnement à travers trois propositions à justifier.

• Proposition 1 : Il faut vérifier l'identité \(\cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)\). C'est une manipulation simple des formules de base.
• Proposition 2 : Il s'agit d'évaluer l'expression \(\cos(2020\pi - x) + \cos(x + 1000\pi)\) en utilisant les propriétés des angles associés et la périodicité de la fonction cosinus.
• Proposition 3 : Connaissant \(\cos(x) = \frac{1}{3}\) pour \(x\) dans l'intervalle \([-\frac{\pi}{2}; 0]\), il faut déterminer si \(\sin(x)\) est égal à \(\frac{\sqrt{8}}{3}\). La justification doit utiliser la relation \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) et tenir compte du signe de \(\sin(x)\) sur l'intervalle donné.