Analyse du Contrôle de Mathématiques pour Terminale Spécialité

Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale en spécialité maths. Il couvre plusieurs chapitres clés du programme : les probabilités, l'étude de fonctions, la géométrie dans l'espace et les suites numériques. Ce type de sujet est idéal pour la préparation au baccalauréat. Vous trouverez ci-dessous une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les compétences évaluées. C'est un excellent exemple de sujet de maths corrigé pour s'entraîner.

Exercice 1 : Probabilités (5 points)

Cet exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles qui évolue vers l'étude d'une variable aléatoire et d'une loi binomiale. Le contexte est celui du contrôle de chaudières, avec des événements liés à leur garantie ($G$) et à leur état (défectueuse $D$ ou non).

• La première question demande de modéliser la situation avec un arbre pondéré, une compétence fondamentale pour organiser les données.
• Ensuite, il faut calculer la probabilité d'une intersection $P(G \cap D)$, ce qui se lit directement sur l'arbre.
• La troisième question applique la formule des probabilités totales pour calculer $P(D)$, en sommant les probabilités des branches menant à l'événement $D$.
• On aborde ensuite les probabilités conditionnelles avec le calcul de $P_D(G)$, la probabilité qu'une chaudière soit sous garantie sachant qu'elle est défectueuse.
• Une variable aléatoire $Y$ représentant le coût du contrôle est introduite. Il faut alors déterminer sa loi de probabilité, puis calculer et interpréter son espérance mathématique $E(Y)$.
• La fin de l'exercice se concentre sur une nouvelle variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale. Il faut justifier l'utilisation de cette loi, en identifier les paramètres ($n=5$ et $p=P_D(G)$), puis calculer des probabilités comme $P(X=2)$ et $P(X \ge 3)$.
• Enfin, l'exercice se conclut sur le calcul d'une union $P(G \cup D)$ et un test d'indépendance des événements $G$ et $D$.

Exercice 2 : Étude de fonction (6 points)

Cet exercice est structuré en deux parties, une méthode très fréquente au baccalauréat. On étudie d'abord une fonction auxiliaire $g$ pour en déduire le signe, qui sera ensuite utilisé pour étudier les variations de la fonction principale $f$.

• Partie A : L'étude porte sur $g(x) = (x + 2)e^{x-4} – 2$. Elle commence par la détermination des limites aux bornes de l'ensemble de définition (en $+\infty$ et $-\infty$), impliquant des connaissances sur les limites de la fonction exponentielle et les formes indéterminées.
• Le calcul de la dérivée $g'(x)$ permet de dresser le tableau de variations complet de $g$.
• Une question clé est l'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et pour en trouver un encadrement.
• Cette étude permet de déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
• Partie B : On étudie la fonction $f(x) = x^2 - x^2e^{x-4}$. Le lien entre les deux fonctions est donné par la dérivée : $f'(x) = -xg(x)$. L'étude des variations de $f$ dépend donc directement du signe de $g(x)$ déterminé précédemment.
• L'exercice se termine par la détermination de l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en un point donné, une application directe du calcul de la dérivée.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (4 points)

Cet exercice évalue les bases de la géométrie vectorielle et analytique dans un repère orthonormé de l'espace.

• On commence par vérifier l'appartenance d'un point à une droite définie par une représentation paramétrique.
• La question suivante demande d'identifier les vecteurs directeurs de deux droites $d_1$ et $d_2$ et de déterminer si elles sont parallèles en vérifiant la colinéarité des vecteurs directeurs.
• Il faut ensuite établir la représentation paramétrique d'une troisième droite $\Delta$ connaissant un point et son vecteur directeur.
• L'un des points centraux est de déterminer la position relative de deux droites ($d_1$ et $\Delta$) : sont-elles sécantes ? Ceci implique de résoudre un système d'équations pour trouver un éventuel point d'intersection.
• Enfin, on teste l'orthogonalité de deux droites ($Δ$ et $d_1$) en utilisant le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs.

Exercice 4 : Suites numériques (5 points)

Ce dernier exercice est une étude approfondie d'une suite $(u_n)$ et d'une suite auxiliaire $(v_n)$ définie comme un produit des termes de $(u_n)$.

• Après le calcul des premiers termes, l'exercice guide vers l'étude des propriétés des suites.
• Il faut démontrer que la suite $(v_n)$ est décroissante, souvent en étudiant le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n}$.
• La convergence de $(v_n)$ est justifiée grâce au théorème de la limite monotone (une suite décroissante et minorée est convergente).
• Le point culminant de l'exercice est une démonstration par récurrence pour établir l'expression explicite de $v_n$ en fonction de $n$. C'est une compétence essentielle du chapitre.
• Une fois la forme explicite $v_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$ obtenue, on calcule sa limite en $+\infty$, ce qui revient à trouver la limite d'un quotient de polynômes.
• L'exercice se termine par une question d'algorithmique où il faut compléter un programme Python calculant le terme $v_n$.