Découvrez notre analyse détaillée et le corrigé de ce contrôle de mathématiques sur le produit scalaire, destiné aux élèves de Première en spécialité maths. Ce sujet d'évaluation de 1h30 est un excellent entraînement, balayant les compétences essentielles du chapitre : calculs de produits scalaires sous différentes formes, application du théorème d'Al-Kashi, détermination de lieux géométriques (cercles et droites), et utilisation du produit scalaire pour démontrer des formules de trigonométrie.

Ce document est un support idéal pour réviser et s'assurer de bien maîtriser les notions clés avant une évaluation. Chaque exercice est décortiqué pour mettre en lumière les méthodes de résolution et les savoir-faire requis.

Exercice 1 : Application des formules du produit scalaire

Cet exercice de base vérifie la maîtrise des définitions et propriétés fondamentales du produit scalaire dans un triangle \(ABC\) où les données sont les longueurs \(AB = 6\), \(AC = 7\) et le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 21\).

• Question 1 : Il s'agit de calculer l'angle \(\widehat{BAC}\). La compétence évaluée est l'utilisation de la formule \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \). En isolant le cosinus, on trouve l'angle. C'est une application directe du cours.
• Question 2 : Cette question, en deux temps, vise à calculer la longueur \(BC\). On utilise d'abord la relation de Chasles, \(\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\), puis on calcule le carré de la norme : \(\|\vec{BA} + \vec{AC}\|^2\). Cela revient à appliquer le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
• Question 3 : La première partie est une démonstration de cours sur l'identité remarquable scalaire \(\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v}\). La seconde partie consiste à appliquer cette formule pour déterminer d'autres produits scalaires dans le triangle, comme \(\vec{CA} \cdot \vec{CB}\) et \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\), en utilisant les longueurs des côtés.

Exercice 2 : Produit scalaire dans un parallélogramme

Cet exercice se place dans le cadre d'un parallélogramme \(ABCD\) et se concentre sur le calcul des longueurs des diagonales, une application classique du produit scalaire.

• Question 1 : Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AD}\) à partir des longueurs \(AB=5\), \(AD=3\) et de l'angle \(\widehat{DAB} = 60^\circ\). C'est à nouveau l'application de la formule \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \).
• Question 2 et 3 : Le but est de calculer les longueurs des diagonales \(BD\) et \(AC\). On utilise les relations vectorielles \(\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}\) et \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\). En passant au carré de la norme et en développant, on obtient : \(BD^2 = AD^2 + AB^2 - 2 \vec{AD} \cdot \vec{AB}\) et \(AC^2 = AB^2 + AD^2 + 2 \vec{AB} \cdot \vec{AD}\).

Exercice 3 : Lieux géométriques

Cet exercice aborde la notion de lieux de points définis par une condition sur le produit scalaire. C'est une partie plus analytique du chapitre.

• Question 1 : On cherche l'ensemble des points \(M\) vérifiant \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k\). L'astuce, rappelée dans l'énoncé, est d'introduire le milieu \(O\) de \([AB]\) pour transformer l'expression en \(MO^2 - OA^2 = k\). On obtient alors l'équation d'un cercle de centre \(O\). Les cas \(k=0\) (cercle de diamètre \([AB]\)), \(k=-2\) et \(k=4\) sont traités.
• Question 2 : Un cas particulier où \(k=-12\) est exploré. L'équation devient \(MO^2 = 9 - 12 = -3\), qui n'a pas de solution réelle. L'ensemble des points est donc vide.
• Question 3 : Cette question utilise la projection orthogonale. On cherche d'abord un point \(C\) sur une droite \(\Delta\) passant par \(A\) tel que \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3\). Si \(H\) est le projeté de \(C\) sur \((AB)\), la condition fixe la position de \(H\). Ensuite, on détermine l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 3\). Ce lieu est donc la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H\).

Exercice 4 : Produit scalaire et trigonométrie

Le dernier exercice fait le lien fondamental entre le produit scalaire et les formules de trigonométrie, dites formules d'addition.

• Question 1 : Dans le cercle trigonométrique, il faut donner les coordonnées des points \(A\) et \(B\) en fonction de leurs angles respectifs \(a\) et \(b\), soit \(A(\cos a, \sin a)\) et \(B(\cos b, \sin b)\).
• Question 2 et 3 : L'objectif est de calculer le produit scalaire \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}\) de deux manières : avec les coordonnées (\(\cos a \cos b + \sin a \sin b\)) et avec la formule des normes et de l'angle (\(\cos(a-b)\)).
• Question 4 : En égalant les deux expressions, on démontre la formule d'addition : \(\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). On en déduit ensuite \(\cos(a+b)\).
• Question 5 : C'est une application de la formule précédente pour calculer les valeurs exactes de \(\cos(\frac{\pi}{12})\) et \(\sin(\frac{\pi}{12})\) en remarquant que \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\).