2. Équation d'une droite avec un vecteur normal

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment redonner l'équation d'une droite sachant qu'on vous a donné un point de passage et un vecteur normal. On va le faire de deux manières : la première très rapide en utilisant une formule qu'on connaît par cœur et la deuxième en faisant une petite démonstration avec le produit scalaire. On s'y met tout de suite.

Première méthode : Utilisation d'une formule connue

Comment est-ce qu'on fait pour dériver l'équation d'une droite qui passe par un point ? Je sais que cette droite doit passer par ce point-là et je sais qu'elle va être normale, c'est-à-dire perpendiculaire à ce vecteur-là. Donc ce vecteur-là, il ne va pas diriger ma droite, mais il va y être perpendiculaire. Si je le prolonge, si je me déplace là, j'ai bien un angle droit. Alors la première technique, et la technique la plus facile, c'est d'utiliser l'équation de la droite \(ax + by + c = 0\). Ce que je dis là, c'est tout simplement que \(a\) et \(b\), les valeurs que je mets devant \(x\) et \(y\), je les tire instantanément du vecteur normal. Donc, si \(a = 1\) et \(b = -2\), j'obtiens \(x - 2y + c = 0\). Pour trouver \(c\), je vais prendre les coordonnées du point de passage, disons \(1\) et \(2\), et je vais les remplacer à la place de \(x\) et \(y\). Ce qui fait que je trouve \(c = -3\). Donc l'équation de la droite est \(x - 2y + 3 = 0\).

Deuxième méthode : Utilisation du produit scalaire

Le problème, c'est que là, vous savez que vous lisez \(a\), vous lisez \(b\), vous remplacez \(c\), mais grosso modo, vous n'avez rien compris. Comment est-ce qu'on peut le faire d'une manière où on comprend un peu plus ça ? Admettons que je place un point sur cette droite, par exemple ici, un point \(M\) dont les coordonnées sont \(x\) et \(y\). Est-ce qu'il n'y a pas quelque chose qu'on pourrait dire en termes de vecteurs ? Réfléchissez deux secondes. Regardez, est-ce qu'il n'y a pas deux vecteurs dont on peut dire quelque chose ? Bah oui, tout à fait, le vecteur \(AM\) et ce vecteur normal sont perpendiculaires. Si \(AM\) et \(N\) sont perpendiculaires, ça veut dire que le produit scalaire \(AM.N = 0\), parce que quand deux vecteurs sont perpendiculaires, leur produit scalaire vaut zéro. Le produit scalaire de \(AM\) et \(N\) peut être calculé avec les coordonnées. Les coordonnées de \(AM\) sont celles de \(M\) moins celles de \(A\), donc \(x - 1\) et \(y - 2\). Les coordonnées de \(N\) sont \(1\) et \(-2\). Donc, \(AM.N = (x - 1) + 2(y - 2) = 0\). Et voilà, je retrouve bien l'équation que j'avais ici. Vous avez une technique ultra rapide, une technique légèrement plus longue, mais qui vous permet de comprendre ce qui se passe. Vous savez d'où vient la formule. Allez, à vous de jouer !