Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale Spécialité, entièrement dédié aux chapitres sur les suites numériques et leurs limites. Cette évaluation d'une heure est un excellent outil de révision pour le baccalauréat, couvrant des compétences essentielles comme le raisonnement par récurrence, l'étude de la convergence et le calcul de limites variées. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner et valider leur compréhension des concepts fondamentaux sur les suites.

Exercice 1 : Questions de cours

Cet exercice a pour but de vérifier la maîtrise des définitions et théorèmes fondamentaux du chapitre. Il est crucial de connaître ces éléments par cœur pour construire des raisonnements rigoureux.

• Question 1 : Il est demandé de donner la définition formelle d'une suite qui tend vers l'infini. C'est-à-dire, que signifie l'écriture mathématique lim_{n→+∞} u_n = +∞ ? La réponse attendue est la définition avec "pour tout réel A, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, u_n > A".
• Question 2 : Cette question est une démonstration de cours classique. Il faut prouver le théorème de la limite monotone (parfois appelé théorème de convergence monotone) dans un cas particulier : toute suite croissante et non majorée tend nécessairement vers +∞.

Exercice 2 : Étude d'une suite arithmético-géométrique

Cet exercice est un classique sur l'étude complète d'une suite définie par une relation de récurrence. La suite (u_n) est définie par u₀ = -1 et u_{n+1} = (1/2)u_n - 2.

• Question 1 : Une première approche calculatoire pour se familiariser avec la suite. À l'aide de la calculatrice, on calcule les 6 premiers termes de la suite pour observer son comportement.
• Question 2 : À partir des valeurs calculées, on doit émettre des conjectures. On peut supposer que la suite est décroissante, qu'elle est minorée (par -4 par exemple) et qu'elle converge vers une limite finie (qui semble être -4).
• Question 3 : Ici, on utilise le raisonnement par récurrence pour démontrer l'une des conjectures : prouver que pour tout entier naturel n, u_n ≥ -4. C'est une application directe de la méthode de récurrence pour une inégalité.
• Question 4 : On étudie ensuite le sens de variation de la suite. Pour cela, on calcule la différence u_{n+1} - u_n et on étudie son signe en utilisant le fait que la suite est minorée par -4. On doit en déduire qu'elle est décroissante.
• Question 5 : La conclusion de l'exercice. La suite est décroissante (question 4) et minorée (question 3). En vertu du théorème de la limite monotone, on peut affirmer que la suite (u_n) est convergente.

Exercice 3 : Calcul de limites de suites

Cet exercice balaye différentes techniques de calcul de limites, en abordant plusieurs formes indéterminées.

• Cas 1 : u_n = (-n² + 3n - 1) / (2n² + 3n - 2). C'est la limite d'une suite rationnelle. La méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré (ici n²) pour lever l'indétermination de la forme "∞/∞".
• Cas 2 : u_n = 3ⁿ – 6ⁿ. Il s'agit d'une forme indéterminée "∞ - ∞". La technique est de factoriser par le terme dominant, c'est-à-dire la suite géométrique avec la plus grande raison, ici 6ⁿ.
• Cas 3 : u_n = n - √n. Une autre forme indéterminée "∞ - ∞". Comme pour le cas précédent, on factorise par le terme le plus "puissant", n, pour déterminer la limite.
• Cas 4 : u_n = 1 + 1/2 + … + (1/2)ⁿ. Il faut reconnaître la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q = 1/2. On utilise la formule de la somme S_n = u₀ * (1-qⁿ⁺¹)/(1-q) puis on calcule la limite de l'expression obtenue.
• Cas 5 : u_n = n / (n + cos n). Cette limite nécessite l'utilisation du théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement). On part de l'encadrement connu -1 ≤ cos n ≤ 1 pour encadrer le dénominateur, puis la suite u_n, et conclure sur sa limite.

Ce contrôle corrigé est une ressource précieuse pour tout élève de Terminale spécialité maths cherchant à s'exercer sur les suites et limites.