Ce sujet de contrôle pour la spécialité Mathématiques Expertes en Terminale est une excellente évaluation des compétences acquises dans le chapitre sur l'arithmétique. D'une durée de 1h30, il balaye les concepts fondamentaux tels que le PGCD, la divisibilité, les congruences et la résolution d'équations diophantiennes. Chaque exercice est conçu pour tester à la fois la compréhension théorique et la capacité à appliquer ces notions à des problèmes concrets. Ce contrôle corrigé est un outil précieux pour la préparation au baccalauréat.

Exercice 1 : PGCD et Divisibilité (3 points)

Cet exercice d'introduction se concentre sur les propriétés du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). On définit deux entiers, a = 2n + 1 et b = n + 3, où n est un entier naturel.

• Question 1 : Il est demandé de démontrer que le PGCD(a; b) est un diviseur de 5. La méthode attendue repose sur les propriétés de l'algorithme d'Euclide : le PGCD de deux nombres est le même que le PGCD de l'un d'eux et d'une de leurs combinaisons linéaires. En calculant a - 2b = (2n + 1) - 2(n + 3) = -5, on montre que PGCD(a; b) = PGCD(-5; b), et donc que PGCD(a;b) doit nécessairement diviser 5.
• Question 2 : La deuxième partie consiste à déterminer la valeur exacte du PGCD(a; b) en fonction de n. Puisque le PGCD divise 5, ses seules valeurs positives possibles sont 1 et 5. Le PGCD sera 5 si et seulement si 5 divise également b = n + 3. Cette condition se traduit par une congruence : n + 3 ≡ 0 [5], soit n ≡ -3 ≡ 2 [5]. On conclut donc que si n ≡ 2 [5], le PGCD est 5, et dans tous les autres cas, il vaut 1.

Exercice 2 : Congruences (3 points)

Cet exercice aborde la résolution d'équations dans l'anneau des entiers modulo 12, un classique de l'arithmétique modulaire.

• Question 1 : La première étape est de montrer que 5 est inversible modulo 12. D'après le théorème de Bachet-Bézout, un entier a est inversible modulo n si et seulement si a et n sont premiers entre eux, c'est-à-dire PGCD(a, n) = 1. Ici, PGCD(5, 12) = 1, ce qui prouve l'inversibilité.
• Question 2 : Il s'agit ensuite de résoudre l'équation de congruence 5x ≡ 4 [12]. Puisque 5 est inversible, on peut multiplier les deux membres de l'équation par son inverse. On cherche un entier u tel que 5u ≡ 1 [12]. Par tâtonnement ou en utilisant l'algorithme d'Euclide, on trouve que 5 × 5 = 25 ≡ 1 [12], donc l'inverse de 5 est 5 lui-même. L'équation devient 5 × 5x ≡ 5 × 4 [12], ce qui simplifie en x ≡ 20 [12], et finalement x ≡ 8 [12].

Exercice 3 : Équation diophantienne et problème concret (9 points)

Cet exercice, le plus conséquent du sujet, est un problème complet sur les équations diophantiennes linéaires de la forme ax + by = c. L'équation à étudier est (E): 23x + 19y = 1000.

• Question 1a : On commence par résoudre l'équation auxiliaire (E'): 23x + 19y = 1 en utilisant l'algorithme d'Euclide. Cet algorithme permet de trouver le PGCD de 23 et 19 (qui est 1), puis de "remonter" les étapes pour exprimer 1 comme une combinaison linéaire de 23 et 19, conformément à l'identité de Bézout. On trouve par exemple la solution particulière (5, -6).
• Question 1b : À partir de la solution de (E'), on en déduit une solution particulière pour (E) en multipliant par 1000. Si 23(5) + 19(-6) = 1, alors 23(5000) + 19(-6000) = 1000. Une solution particulière est donc (5000, -6000).
• Question 1c : Pour trouver l'ensemble des solutions de (E) dans Z², on utilise le théorème de Gauss. En soustrayant l'équation avec la solution particulière à l'équation générale, on obtient 23(x - 5000) = -19(y + 6000). Comme 23 et 19 sont premiers entre eux, 23 doit diviser y + 6000. Les solutions sont alors de la forme x = 5000 - 19k et y = -6000 + 23k pour tout k entier relatif.
• Question 2 : La dernière partie est une mise en application. Un problème de hauteur de piles de pièces de monnaie (1 euro : 2,3 mm ; 10 centimes : 1,9 mm) est modélisé par l'équation 2.3x + 1.9y = 100 (pour 10 cm = 100 mm). En multipliant par 10, on retombe sur l'équation (E). La question est de savoir s'il existe des solutions avec x et y entiers positifs. On doit donc résoudre le système d'inéquations 5000 - 19k > 0 et -6000 + 23k > 0, ce qui encadre k et fournit les solutions possibles au problème.

Exercice 4 : Suites et Arithmétique (5 points)

Cet exercice fait le lien entre l'étude des suites et l'arithmétique. On considère la suite arithmético-géométrique définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = 4u_n + 1.

• Question 1 : Après le calcul des premiers termes, il faut montrer que u_{n+1} et u_n sont premiers entre eux. En utilisant la propriété du PGCD, on a PGCD(u_{n+1}, u_n) = PGCD(4u_n + 1, u_n) = PGCD(1, u_n) = 1.
• Question 2 : On introduit une suite auxiliaire v_n = u_n + 1/3 pour simplifier l'étude. On démontre que (v_n) est une suite géométrique de raison 4. On trouve ensuite sa forme explicite, puis on en déduit celle de (u_n), qui est u_n = (4^n - 1)/3.
• Question 3 : La dernière question demande de calculer PGCD(4^{n+1} - 1; 4^n - 1). En utilisant à nouveau les propriétés du PGCD, on a PGCD(4^{n+1} - 1, 4^n - 1) = PGCD(4(4^n - 1) + 3, 4^n - 1) = PGCD(3, 4^n - 1). Comme 4 ≡ 1 [3], on a 4^n - 1 ≡ 1^n - 1 ≡ 0 [3], ce qui signifie que 4^n - 1 est toujours divisible par 3. Le PGCD est donc 3.

Exercice 5 : Application de l'identité de Bézout (2 points)

Ce court exercice est un problème de synthèse qui teste la compréhension profonde du théorème de Bézout. Avec des jetons de valeur 7 et 11 euros, on se demande si toute transaction en nombre entier d'euros est possible.

Cela revient à déterminer si l'équation diophantienne 7x + 11y = N admet des solutions entières (x, y) pour n'importe quel entier N. D'après le théorème de Bézout, une telle équation a des solutions si et seulement si N est un multiple du PGCD(7, 11). Or, 7 et 11 sont des nombres premiers, donc leur PGCD est 1. Comme tout entier N est un multiple de 1, l'affirmation est correcte. Toutes les transactions sont possibles.