Exercice 1 : Compétences de base sur les polynômes du second degré
Cet exercice constitue un excellent résumé des savoir-faire fondamentaux du chapitre sur les polynômes du second degré. Il s'articule autour de deux fonctions trinômes, \( f(x) = -3x^2 + 8x + 35 \) et \( g(x) = -3x^2 + 12x - 5 \).
- Résolution d'équation et interprétation : La première question demande de résoudre l'équation \( f(x) = 0 \). Cela implique le calcul du discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \), suivi de la recherche des racines \( x_1 \) et \( x_2 \). L'interprétation graphique consiste à expliquer que les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la parabole représentative de \( f \) avec l'axe des abscisses.
- Tableau de signe et inéquation : Vous devrez ensuite dresser le tableau de signe de \( f(x) \), en utilisant la règle du signe de 'a' à l'extérieur des racines. Ce tableau permet de résoudre directement l'inéquation \( f(x) < 0 \).
- Forme factorisée : Une fois les racines connues, la question demande de donner la forme factorisée de \( f(x) \), qui est de la forme \( a(x-x_1)(x-x_2) \).
- Extremum d'une fonction : Pour la fonction \( g(x) \), il est demandé de déterminer si elle admet un maximum ou un minimum. Le signe du coefficient dominant 'a' (ici \( a = -3 < 0 \)) permet de conclure. Le calcul des coordonnées du sommet \( (\alpha, \beta) \) avec \( \alpha = -b/(2a) \) donne la valeur de l'extremum et l'abscisse pour laquelle il est atteint.
- Intersection de courbes : L'exercice se termine par l'étude de la position relative des deux courbes. Pour trouver les points d'intersection, il faut résoudre l'équation \( f(x) = g(x) \), ce qui mène à une équation du premier degré. Pour la position relative, la résolution de l'inéquation \( f(x) > g(x) \) indique sur quel intervalle la courbe de \( f \) est située au-dessus de celle de \( g \).
Exercice 2 : Lecture graphique et forme canonique
Cet exercice de ce sujet de maths teste votre capacité à lier représentation graphique et expression algébrique. À partir de la parabole dessinée, il faut déterminer la forme canonique de la fonction \( f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \).
La méthode consiste à :
- Identifier graphiquement les coordonnées \( (\alpha, \beta) \) du sommet de la parabole.
- Utiliser les coordonnées d'un autre point de la courbe, facilement lisible (par exemple, l'ordonnée à l'origine), pour déterminer la valeur du coefficient 'a' par le calcul.
Exercice 3 : Modélisation et problème concret (Rugby)
Ce problème concret est un classique d'application des polynômes du second degré. La trajectoire d'un ballon de rugby est modélisée par la fonction \( f(x) = x - \frac{x^2}{10} \).
- La première question, "À quelle distance du joueur le ballon retombera-t-il ?", revient à chercher la racine positive non nulle de l'équation \( f(x) = 0 \).
- La deuxième, "Quelle sera la hauteur maximale atteinte ?", demande de trouver l'ordonnée du sommet de la parabole, c'est-à-dire le maximum de la fonction \( f \).
- Enfin, pour savoir si la pénalité est réussie, il faut calculer l'altitude du ballon à une distance donnée (\( x=5 \)) et la comparer à la hauteur de la barre. Il s'agit donc de calculer \( f(5) \) et de vérifier si \( f(5) > 3 \).
Exercice 4 : Équation avec paramètre
Un exercice court mais subtil. Face à une équation incomplète \( -2x^2 + 4x + c = 0 \), une information cruciale est donnée : "l'équation avait une unique solution". Cette condition implique que le discriminant \( \Delta \) est nul. Il suffit alors de poser \( \Delta = 0 \), d'exprimer \( \Delta \) en fonction de \( c \), et de résoudre l'équation pour trouver la valeur du paramètre manquant.
Exercice 5 : Questions techniques avancées
Cet exercice de notre évaluation de Première aborde deux types de résolutions plus complexes :
- Inéquation rationnelle : L'inéquation \( x \le \frac{3}{x-2} \) se résout en regroupant tous les termes du même côté, en réduisant au même dénominateur, puis en étudiant le signe du quotient obtenu à l'aide d'un tableau de signes. L'étape clé est de se ramener à l'étude du signe d'un polynôme du second degré au numérateur.
- Équation bicarrée : L'équation \( 2x^4 - 2x^2 - 24 = 0 \) est une équation bicarrée. La méthode de résolution consiste à effectuer un changement de variable en posant \( X = x^2 \). On résout alors l'équation du second degré en \( X \), puis on revient à la variable \( x \) en résolvant \( x^2 = X \) pour les solutions \( X \) positives trouvées.
Exercice 6 : Problème d'optimisation d'aire
Le dernier exercice est un problème d'optimisation, un thème fréquent en analyse. Le but est de maximiser l'aire d'un rectangle dont les dimensions dépendent d'une variable \( x \).
Les étapes de résolution sont les suivantes :
- Déterminer l'expression de la fonction affine \( f \) dont la droite passe par les points A et B donnés.
- Exprimer l'aire du rectangle OCMD en fonction de \( x \). On obtient une fonction du second degré \( A(x) = x \times f(x) \).
- Pour trouver l'aire maximale, on cherche le maximum de cette fonction \( A(x) \), ce qui revient à trouver les coordonnées du sommet de la parabole correspondante.
- La dernière question demande si l'aire du rectangle peut être égale à une valeur donnée (la moitié de l'aire du triangle OAB). Cela se traduit par une équation du second degré \( A(x) = k \), dont il faut déterminer si elle admet des solutions.
Ce contrôle corrigé offre une révision complète et exigeante du chapitre sur les polynômes du second degré, préparant efficacement les élèves de Première aux attendus du baccalauréat.