Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce contrôle de mathématiques de niveau Première, spécialité maths, portant sur le chapitre des généralités sur les suites numériques. Ce sujet d'une heure est un excellent outil de révision, couvrant les compétences fondamentales liées à l'étude des suites.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue la compréhension de base des suites numériques. Il s'agit de répondre rapidement et sans justification.

• Question 1 : Conjecturer la limite de la suite $u_n = 3n^2 - 5$. Il faut ici reconnaître le comportement d'un polynôme en l'infini.
• Question 2 : Identifier la notation correcte pour le terme qui suit $u_n$. Une question de pure notation.
• Question 3 : Déterminer le sens de variation de la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{(n+1)^2}$. Cela demande d'analyser le rapport entre deux termes consécutifs.
• Question 4 : Appliquer le lien entre le sens de variation d'une fonction et celui d'une suite définie explicitement. Si $f(x) = (x-1)^2$ est croissante, quelle suite $u_n = f(n)$ est également croissante ?
• Question 5 : À partir d'une représentation graphique, identifier l'expression (explicite ou récurrente) de la suite. Cet exercice teste la capacité à passer du visuel à l'algébrique et à reconnaître une suite arithmétique ou géométrique.

Exercice 2 : Étude de sens de variation (8,5 points)

Cet exercice se concentre sur une compétence clé : la détermination du sens de variation de différents types de suites. Plusieurs méthodes sont à mobiliser.

• a. Suite géométrique : Étude de $u_n = 0,8^n$. Il faut connaître la propriété sur le sens de variation d'une suite géométrique en fonction de sa raison.
• b. Suite explicite : Étude de $u_n = (n+1)^2 - n$. La méthode de l'étude de la fonction associée $f(x) = (x+1)^2 - x$ ou l'étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ sont possibles.
• c. Suite arithmétique : Étude de $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n + 5$. Le sens de variation est directement lié au signe de la raison.
• d. Suite récurrente : Étude de $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + n^2 - 4$. L'étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ est la méthode la plus directe.

Exercice 3 : Problème de modélisation (7,5 points)

Ce dernier exercice est un problème concret qui met en application l'ensemble des notions vues sur les suites. Il s'agit de modéliser une situation d'abonnements à une revue.

• Question 1 : Calculer les premiers termes d'une suite à partir d'un énoncé en français, pour les années 2011 et 2012.
• Question 2a : Justifier la modélisation de la situation par une suite arithmético-géométrique, en montrant que $u_{n+1} = 0,8u_n + 580$.
• Question 2b : Compléter un algorithme en Python qui détermine le premier rang $n$ à partir duquel le nombre d'abonnés dépasse un certain seuil (2800). C'est un classique algorithme de seuil.
• Question 2c : Utiliser la calculatrice pour exécuter le calcul demandé par l'algorithme et interpréter le résultat dans le contexte du problème.
• Question 2d : Utiliser la calculatrice pour conjecturer le sens de variation et la limite de la suite, puis donner une interprétation concrète de ces résultats (le nombre d'abonnés se stabilise vers une certaine valeur).

Ce sujet de maths sur les suites est un excellent entraînement pour les élèves de Première. Il balaye les définitions, les calculs de variation, la modélisation et l'introduction à l'algorithmique. Téléchargez le sujet et son corrigé pour préparer efficacement vos prochaines évaluations.