Contrôle Corrigé de Mathématiques Première Spécialité : Probabilités Conditionnelles et Trigonométrie

Ce sujet de contrôle de mathématiques, destiné aux élèves de Première en spécialité maths, porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les probabilités conditionnelles et la trigonométrie. D'une durée d'une heure, cette évaluation (Sujet 28) permet de vérifier la maîtrise des outils essentiels comme les arbres pondérés, les tableaux de contingence, ainsi que les concepts du cercle trigonométrique. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque question, en mettant l'accent sur la méthodologie et les formules clés. Idéal pour réviser et s'entraîner en conditions réelles.

Exercice 1 : Synthèse de données et probabilités (6 points)

Cet exercice classique de probabilités évalue la capacité à organiser des données et à calculer des probabilités simples, d'intersections, d'unions, et conditionnelles.

Le contexte est celui d'une classe de 32 élèves réalisant un exercice, avec différentes méthodes et des taux d'erreur.

• Question 1 : Compléter le tableau de synthèse.
  Il faut traduire les pourcentages en effectifs. Sur 32 élèves :
  • Nombre d'élèves utilisant un tableau : \( \frac{3}{4} \times 32 = 24 \) élèves.
  • Parmi eux, ceux qui font une erreur : \( 12,5\% \times 24 = 0.125 \times 24 = 3 \) élèves.
  • Ceux qui n'en font pas : \( 24 - 3 = 21 \) élèves.
  • Nombre d'élèves utilisant un schéma : \( 32 - 24 = 8 \) élèves.
  • Parmi eux, un seul fait une erreur. Donc 7 n'en font pas.
  Le tableau complété permet de visualiser ces effectifs.
• Question 2 : Calcul de probabilités.
  On note T l'événement "l'élève a utilisé un tableau" et E "l'élève a fait une erreur".
  • a. L'événement contraire \( \bar{T} \) est "l'élève n'a pas utilisé un tableau", soit "l'élève a utilisé un schéma".
  • b. On calcule \( P(T \cap E) \), la probabilité qu'un élève utilise un tableau ET fasse une erreur. D'après le tableau, 3 élèves correspondent à ce cas sur 32. Donc \( P(T \cap E) = \frac{3}{32} \). Pour \( P(T \cup E) \), on utilise la formule : \( P(T \cup E) = P(T) + P(E) - P(T \cap E) = \frac{24}{32} + \frac{4}{32} - \frac{3}{32} = \frac{25}{32} \).
• Question 3 : Probabilité conditionnelle.
  On cherche la probabilité qu'un élève ait utilisé un tableau SACHANT qu'il a fait une erreur, soit \( P_E(T) \). On applique la formule : \( P_E(T) = \frac{P(T \cap E)}{P(E)} = \frac{3/32}{4/32} = \frac{3}{4} \).
• Question 4 : Indépendance des événements.
  Pour savoir si E et T sont indépendants, on compare \( P(T \cap E) \) avec le produit \( P(T) \times P(E) \).
  On a \( P(T \cap E) = \frac{3}{32} \). Et \( P(T) \times P(E) = \frac{24}{32} \times \frac{4}{32} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{32} \).
  Comme les deux valeurs sont égales, les événements sont indépendants.

Exercice 2 : D'un arbre pondéré à un tableau de probabilités (4 points)

Cet exercice teste la compétence inverse du précédent : passer d'une représentation par arbre pondéré à un tableau de probabilités. Il est essentiel de savoir lire un arbre et d'utiliser la formule des probabilités composées.

On part d'un arbre donné avec les probabilités \( P(A) = 0.2 \), \( P_A(B) = 0.6 \), etc. Pour remplir le tableau, on calcule les probabilités des intersections :

• \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0.2 \times 0.6 = 0.12 \)
• \( P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P_A(\bar{B}) = 0.2 \times 0.4 = 0.08 \)
• \( P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) = 0.8 \times 0.1 = 0.08 \)
• \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(\bar{B}) = 0.8 \times 0.9 = 0.72 \)

Une fois ces quatre valeurs placées dans les cases centrales du tableau, on complète les totaux (lignes et colonnes) par addition pour retrouver les probabilités marginales.

Exercice 3 : Application commerciale des probabilités (5 points)

Cet exercice met en scène une situation concrète pour appliquer la construction d'arbres pondérés et l'utilisation de la formule des probabilités totales.

• Question 1 : Construire un arbre pondéré.
  L'arbre part de l'univers des clients et se divise en trois branches : Piscine Traditionnelle (T, \(P(T)=0.5\)), en Résine (R, \(P(R)=0.4\)) et en Bois (B, \(P(B)=0.1\)). Chaque branche se subdivise ensuite en Chauffage (C) ou non (\( \bar{C} \)), avec les probabilités conditionnelles données (\(P_T(C)=0.8\), \(P_R(C)=0.6\)).
• Question 2 : Calcul d'une intersection.
  La probabilité que le client ait une piscine traditionnelle chauffée est \(P(T \cap C)\). On la calcule via l'arbre : \( P(T \cap C) = P(T) \times P_T(C) = 0.5 \times 0.8 = 0.4 \).
• Question 3 : Formule des probabilités totales.
  On sait que 70% des clients ont un chauffage, donc \(P(C) = 0.7\).
  • a. Pour trouver \(P(B \cap C)\), on utilise la loi des probabilités totales : \( P(C) = P(T \cap C) + P(R \cap C) + P(B \cap C) \). On calcule d'abord \( P(R \cap C) = P(R) \times P_R(C) = 0.4 \times 0.6 = 0.24 \). On a donc \( 0.7 = 0.4 + 0.24 + P(B \cap C) \), ce qui donne \( P(B \cap C) = 0.7 - 0.64 = 0.06 \).
  • b. On en déduit la probabilité conditionnelle \( P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{0.06}{0.1} = 0.6 \). On peut alors compléter la dernière branche de l'arbre.

Exercice 4 : Maîtrise du cercle trigonométrique (5 points)

Ce dernier exercice est consacré à la trigonométrie et vise à évaluer les compétences de base sur le cercle trigonométrique, les conversions d'angles et l'utilisation des formules fondamentales.

• Question 1 : Conversion d'angles.
  On utilise les formules de conversion :
  • \( \frac{\pi}{10} \) rad en degrés : \( \frac{\pi}{10} \times \frac{180}{\pi} = 18^\circ \).
  • \( 110^\circ \) en radians : \( 110 \times \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{18} \) rad.
• Question 2 : Placement de points sur le cercle.
  Il faut trouver la mesure principale ou une mesure équivalente simple pour chaque angle :
  • \( -\frac{5\pi}{6} \) : L'angle est déjà dans \( ]-\pi, \pi] \), on le place directement.
  • \( 2020\pi \) : C'est un multiple de \( 2\pi \), donc le point est confondu avec celui de l'angle 0, soit le point A(1,0).
  • \( \frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \). Le point est le même que pour \( \frac{\pi}{4} \).
  • \( \frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3} \). Le point est le même que pour \( \frac{\pi}{3} \).
• Question 3 : Utilisation de la relation fondamentale.
  On part de la formule \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \).
  Avec \( \sin(x) = -\frac{1}{5} \), on a \( \cos^2(x) + (-\frac{1}{5})^2 = 1 \).
  \( \cos^2(x) + \frac{1}{25} = 1 \Rightarrow \cos^2(x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \).
  Les valeurs possibles pour \( \cos(x) \) sont donc \( \sqrt{\frac{24}{25}} \) et \( -\sqrt{\frac{24}{25}} \). Soit \( \cos(x) = \frac{2\sqrt{6}}{5} \) ou \( \cos(x) = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \).