Contrôle Corrigé de Mathématiques pour la Seconde : Fonctions Affines et Fonctions de Référence

Ce document propose un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde, centré sur les chapitres des fonctions affines et des fonctions de référence. D'une durée d'une heure, cette évaluation est conçue pour tester les connaissances fondamentales des élèves sur les propriétés, les calculs et les représentations graphiques de ces fonctions essentielles. Ce corrigé détaillé, exercice par exercice, constitue une ressource précieuse pour les révisions, permettant de s'approprier les méthodes de résolution et de comprendre les attentes d'un devoir surveillé. Les mots clés importants pour ce sujet sont : contrôle corrigé, sujet de maths, Seconde, fonctions de référence, fonction affine, fonction carré, fonction cube, fonction inverse, fonction racine carrée.

Exercice 1 : Maîtrise de la fonction affine (3 points)

Cet exercice introductif porte sur la fonction affine définie par l'expression `f(x) = -3x + 2`. Il vise à vérifier les compétences de base en matière de calcul et d'identification des caractéristiques d'une droite.

• Question 1 : Il est demandé de calculer l'image de -5. Il s'agit d'un calcul direct : `f(-5) = -3 \times (-5) + 2 = 15 + 2 = 17`.
• Question 2 : La tâche consiste à déterminer l'antécédent de 7. Cela revient à résoudre l'équation du premier degré `f(x) = 7`, soit `-3x + 2 = 7`, ce qui donne `-3x = 5` et donc `x = -5/3`.
• Question 3 : L'élève doit identifier les paramètres de la fonction. Le coefficient directeur, qui indique la pente de la droite, est `a = -3`. L'ordonnée à l'origine, qui est le point d'intersection avec l'axe des ordonnées, est `b = 2`.

Exercice 2 : Étude complète de la fonction carré (6 points)

L'exercice le plus conséquent du contrôle se concentre sur la fonction carré `f(x) = x^2`. Il balaye un large spectre de compétences, du calcul à la résolution graphique.

• Question 1 : Calcul d'images pour des nombres variés, y compris un irrationnel : `f(-5) = (-5)^2 = 25` et `f(\frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = \frac{3}{16}`.
• Question 2 : Complétion d'un tableau de valeurs pour la fonction sur l'intervalle `[-3, 3]`, une étape préparatoire au tracé de la courbe.
• Question 3 : Représentation graphique de la fonction carré, en choisissant une échelle adaptée pour obtenir une courbe précise.
• Question 4 : Identification du nom de la courbe, qui est une parabole.
• Question 5 : Résolution d'équations et inéquations à l'aide du graphique : trouver les abscisses des points de la parabole d'ordonnée 4 pour `f(x) = 4`, et les abscisses des points situés au-dessus de la droite `y=1` pour `f(x) \geq 1`.
• Question 6 : Résolution de l'encadrement `4 \leq x^2 \leq 9`. L'élève doit utiliser les propriétés de la fonction carré pour déterminer les intervalles solutions, qui sont `[-3, -2] \cup [2, 3]`.

Exercice 3 : La fonction cube (2 points)

Cet exercice rapide évalue la connaissance de la fonction cube `f(x) = x^3` à travers des calculs d'image et d'antécédent.

• Question 1 : Calcul de l'image d'une puissance, `f(5^4) = (5^4)^3 = 5^{12}`, mobilisant les règles sur les puissances.
• Question 2 : Détermination de l'antécédent de 27. Il faut résoudre l'équation `x^3 = 27`, dont la solution unique est `x = 3`.

Exercice 4 : La fonction inverse et son hyperbole (6 points)

Cet exercice explore la fonction inverse `f(x) = 1/x`, en abordant son domaine de définition, sa courbe et la résolution d'inéquations.

• Question 1 : Détermination de l'ensemble de définition : la fonction inverse n'étant pas définie en 0, son domaine est `\mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[`.
• Question 2 : Calcul d'images simples : `f(5/4) = 4/5` et `f(-10^{-3}) = -10^3 = -1000`.
• Question 3 : Recherche d'antécédent en résolvant `1/x = 3`, ce qui donne `x = 1/3`.
• Question 4 : Tracé de la courbe représentative sur `[-4, 4]`.
• Question 5 : Identification du nom de la courbe : une hyperbole.
• Question 6 : Résolution graphique des inéquations `1/x \geq 1/2` et `1/x \leq 2`, qui demande une lecture attentive du graphique et une bonne compréhension du comportement de la fonction.

Exercice 5 : La fonction racine carrée (3 points)

Le dernier exercice porte sur la fonction racine carrée `f(x) = \sqrt{x}`, en se focalisant sur son domaine et la résolution d'inéquations.

• Question 1 : L'ensemble de définition de la fonction racine carrée est l'ensemble des réels positifs ou nuls, soit `[0, +\infty[`.
• Question 2 : Calcul de l'image d'une fraction : `f(\frac{36}{121}) = \sqrt{\frac{36}{121}} = \frac{6}{11}`.
• Question 3 : Résolution des inéquations `\sqrt{x} \leq 3` et `\sqrt{x} \geq 7`. En utilisant la croissance de la fonction sur son domaine, on obtient respectivement les solutions `x \in [0, 9]` et `x \in [49, +\infty[`.