Contrôle de Mathématiques de Première : Polynômes, Trigonométrie et Dérivation

Ce sujet de contrôle pour la classe de Première spécialité mathématiques est une évaluation complète portant sur trois chapitres centraux du programme : les polynômes du second degré, les fonctions trigonométriques et la dérivation locale. D'une durée de 2 heures, ce devoir est structuré en cinq exercices variés, permettant de balayer un large spectre de compétences, allant de l'analyse graphique à la résolution de problèmes complexes. Retrouvez une analyse détaillée de ce sujet, idéal pour la préparation aux examens.

Exercice 1 : Analyse graphique d'un polynôme du second degré (QCM)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples qui évalue la capacité à interpréter graphiquement les propriétés d'une fonction trinôme \( P(x) = ax^2 + bx + c \). À partir de la parabole représentative, il faut déterminer :

• Le signe du coefficient dominant 'a' : La parabole est tournée vers le bas, ce qui indique une concavité négative, et donc que \( a < 0 \).
• Le signe du discriminant \( \Delta \) : La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, ce qui signifie que l'équation \( P(x)=0 \) admet deux solutions réelles. Par conséquent, le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) est strictement positif.
• La valeur du coefficient 'c' : Le coefficient 'c' correspond à l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire \( P(0) \). La lecture graphique montre que la courbe coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées \( (0, 2) \), donc \( c = 2 \). (Note : une incohérence est présente dans les options proposées dans le sujet original).
• La valeur de \( a + b + c \) : Cette expression correspond à la valeur de \( P(1) \). Il s'agit de lire graphiquement l'image de 1 par la fonction P, qui est une valeur positive.

Cet exercice est fondamental pour lier la représentation graphique d'un polynôme à ses caractéristiques algébriques.

Exercice 2 : Trigonométrie fondamentale

Cet exercice se concentre sur des calculs et des résolutions d'équations en trigonométrie.

• Conversion d'angles : La première question demande de convertir un angle de 144 degrés en radians. En utilisant la formule de conversion \( \text{rad} = \text{deg} \times \frac{\pi}{180} \), on trouve que \( 144^\circ = \frac{4\pi}{5} \) radians.
• Utilisation des angles associés et des formules de base : À partir de la valeur de \( \cos(\frac{\pi}{5}) \), il faut en déduire \( \cos(\frac{4\pi}{5}) \) en utilisant la relation des angles supplémentaires \( \cos(\pi - x) = -\cos(x) \). Ensuite, la valeur de \( \sin(\frac{\pi}{5}) \) est déterminée grâce à la relation fondamentale \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \).
• Résolution d'équation trigonométrique : La dernière question consiste à résoudre l'équation \( \cos(3x) = \frac{1}{2} \) dans l'intervalle \( ]-\pi; \pi] \). Cela nécessite de connaître les valeurs remarquables du cosinus, puis de résoudre les deux familles d'équations \( 3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) et \( 3x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \), avant de sélectionner les solutions appartenant à l'intervalle spécifié.

Exercice 3 : Étude d'une fonction trigonométrique

Cet exercice propose une analyse complète de la fonction \( f(x) = 3\cos(5x) - \sin^2(5x) \).

• Périodicité : Il faut montrer que la fonction \( f \) est périodique de période \( \frac{2\pi}{5} \) en calculant \( f(x + \frac{2\pi}{5}) \) et en montrant que c'est égal à \( f(x) \).
• Parité : L'étude de la parité se fait en calculant \( f(-x) \) et en le comparant à \( f(x) \). La fonction cosinus étant paire et la fonction sinus au carré l'étant également, la fonction \( f \) est paire.
• Résolution d'équations complexes : Les questions 3 et 4 demandent de résoudre \( f(x) = -3 \) et \( f(x) = -5 \). Cela implique d'utiliser \( \sin^2(u) = 1 - \cos^2(u) \) pour se ramener à une équation du second degré en \( \cos(5x) \). En posant \( X = \cos(5x) \), on résout une équation polynomiale de type \( aX^2+bX+c=0 \), ce qui illustre un lien fort entre les chapitres. L'analyse du discriminant et des solutions pour X (qui doivent être dans \([-1, 1]\)) permet de conclure.

Exercice 4 : Problème d'optimisation

Cet exercice est un problème concret d'optimisation d'aire qui se modélise par une fonction polynomiale du second degré. Partant d'un rectangle ABCD, on cherche à minimiser l'aire d'un quadrilatère MNPQ inscrit.

• Modélisation : La première étape est de définir le domaine de validité de la variable \( x \) (la longueur AM) et d'exprimer les dimensions des triangles formés en fonction de \( x \).
• Calcul d'aire : Il faut calculer l'aire du quadrilatère MNPQ, \( A(x) \), en soustrayant l'aire des quatre triangles de l'aire du rectangle. On aboutit à l'expression d'un trinôme du second degré : \( A(x) = 2x^2 - 8x + 15 \).
• Recherche d'extremum : Pour trouver l'aire minimale, il faut déterminer le sommet de la parabole représentative de \( A(x) \), dont l'abscisse est donnée par \( x = -\frac{b}{2a} \). On trouve ainsi la position de M qui minimise l'aire et la valeur de cette aire minimale.
• Résolution d'équation : La dernière question demande s'il existe une position pour laquelle l'aire est égale à 11 cm². Cela revient à résoudre l'équation du second degré \( A(x) = 11 \) et à vérifier si les solutions appartiennent au domaine de définition de \( x \).

Exercice 5 : Dérivation locale et interprétation graphique

Le dernier exercice aborde la notion de dérivation en un point pour la fonction inverse \( f(x) = \frac{1}{x+2} \).

• Calcul du nombre dérivé avec la définition : La première question exige de revenir à la définition du nombre dérivé en calculant la limite du taux d'accroissement \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \) pour \( a = -\frac{3}{2} \). Ceci permet de prouver que la fonction est dérivable en ce point et de trouver la valeur de \( f'(-\frac{3}{2}) \).
• Vérification et cohérence : Il est demandé de vérifier la cohérence du résultat avec la formule de dérivation générale de la fonction (qui est donnée) puis avec une représentation graphique.
• Lecture graphique du nombre dérivé : La dernière question consiste à justifier graphiquement le résultat. Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Il faut donc estimer la pente de la tangente tracée sur le graphique et la comparer à la valeur calculée précédemment.