Ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale Spécialité est un sujet complet et exigeant, balayant plusieurs chapitres clés du programme. Idéal pour s'entraîner en conditions réelles, ce sujet aborde en profondeur l'analyse de suites et de fonctions, le dénombrement et la géométrie vectorielle dans l'espace. Découvrez une analyse détaillée de chaque exercice pour maîtriser les compétences essentielles. Ce document est une ressource parfaite pour les élèves visant l'excellence et cherchant un sujet de maths corrigé pour leurs révisions.

Exercice 1 : Suites et Fonction

Cet exercice d'introduction teste des compétences fondamentales sur les suites numériques et l'analyse de fonction.

• Question 1 : Raisonnement par récurrence. On étudie la suite \((u_n)\) définie par \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = 3u_n + 2 \). L'objectif est de démontrer par récurrence que l'expression explicite de la suite est \( u_n = 4 \times 3^n - 1 \) pour tout entier naturel \(n\). Une application directe du principe de récurrence.
• Question 2 : Sens de variation d'une suite. Il s'agit ici de prouver que la suite \((v_n)\) de terme général \( v_n = \binom{2n}{n} \) est strictement croissante. Cette question requiert de manipuler les coefficients binomiaux et d'étudier le signe de \(v_{n+1} - v_n\) ou le rapport \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\).
• Question 3 : Encadrement d'une fonction trigonométrique. On analyse la fonction \( f(x) = \frac{x-1}{\sin(x) + 4} \). Après avoir constaté qu'un encadrement proposé est faux, le but est de trouver le bon encadrement en se basant sur les bornes de la fonction sinus (\( -1 \le \sin(x) \le 1 \)).

Exercice 2 : Suite Arithmético-Géométrique et Algorithmique

Cet exercice classique porte sur l'étude d'une suite qui n'est ni arithmétique, ni géométrique, mais dont l'étude se ramène à des suites connues via une suite auxiliaire.

• Question 1 et 2 : Étude d'une suite via une suite auxiliaire. On considère la suite \((u_n)\) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + \frac{2}{3}n + 1 \). L'introduction de la suite auxiliaire \( v_n = u_n - n \) est la clé. Il faut démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique, en déduire sa forme explicite, puis celle de \((u_n)\).
• Question 2c : Limite de suite. Une fois l'expression \( u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \) trouvée, le calcul de sa limite en \(+\infty\) est une application directe des théorèmes sur les limites de suites géométriques et de référence.
• Question 2d : Algorithme de seuil. La question demande de compléter un algorithme Python qui détermine le plus petit entier \(n\) tel que \( u_n \ge 2020 \). Cela teste la capacité à traduire une recherche de seuil en une boucle "while".
• Question 3 : Somme de termes et limite. On s'intéresse à la somme des termes \( S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \). Il faut l'exprimer en fonction de \(n\) en utilisant les formules des sommes des termes d'une suite géométrique et arithmétique. Finalement, on calcule la limite de \( w_n = \frac{S_n}{n^2} \), ce qui implique de lever une forme indéterminée.

Exercice 3 : Étude Complète de Fonctions Exponentielles

Cet exercice en trois parties est un problème d'analyse complet, centré sur la fonction exponentielle, ses propriétés et ses applications.

• Partie A : Fonction auxiliaire. L'étude de \( g(x) = (x+1)e^x \) sert de base pour la suite. Il faut calculer sa dérivée \( g'(x) = (x+2)e^x \), dresser son tableau de variation complet en justifiant les limites (notamment par croissance comparée en \(-\infty\)), et en déduire que \( g(x) > -1 \) grâce au minimum de la fonction.
• Partie B : Étude de fonction et asymptotes. On étudie \( f(x) = \frac{e^x}{(x+1)e^x + 1} \). La justification de son ensemble de définition sur \(\mathbb{R}\) repose sur le signe du dénominateur, établi dans la partie A. Le calcul des limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) permet de déterminer les équations des asymptotes horizontales à la courbe de \(f\).
• Partie C : Discussion graphique. On introduit une famille de fonctions \(g_m(x) = x+1 - me^{-x}\). La question centrale est de déterminer le nombre de solutions de l'équation \(g_m(x) = 0\). En montrant que cette équation est équivalente à \(g(x) = m\), on peut conclure en utilisant le tableau de variation de \(g\) et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour discuter du nombre de solutions selon les valeurs du paramètre réel \(m\).

Exercice 4 : Dénombrement

Cet exercice est consacré aux techniques de dénombrement à travers des problèmes de tirages dans une urne contenant 5 boules noires et 3 boules rouges.

• Question 1 : Tirages successifs avec remise. On tire 5 boules. Cette situation se modélise par des k-uplets (ou p-listes). On dénombre le total des possibles, puis des cas plus spécifiques en utilisant le principe multiplicatif, et enfin un cas "au moins un" en passant par l'événement contraire.
• Question 2 : Tirages successifs sans remise. On tire les 8 boules de l'urne. Il s'agit ici de permutations ou d'arrangements. Les questions portent sur le dénombrement de configurations particulières, mobilisant à nouveau le principe multiplicatif dans un contexte d'arrangements.
• Question 3 : Tirages simultanés. On tire 2 boules. Ce scénario correspond à l'utilisation des combinaisons. On demande de calculer la probabilité d'événements comme "tirer deux boules rouges" ou "tirer deux boules de même couleur".

Exercice 5 : Géométrie dans l'Espace

Le dernier exercice porte sur la géométrie vectorielle, d'abord de manière purement géométrique (Partie A), puis de manière analytique (Partie B).

• Partie A : Calcul vectoriel. Dans un parallélépipède, des points sont définis par des relations vectorielles. Il faut manipuler ces relations en utilisant la relation de Chasles pour prouver des égalités, placer des points et exprimer certains vecteurs en fonction d'une base. L'objectif final est de déduire la nature de la configuration des points T, U, R et S (coplanarité) et de trouver l'intersection de deux droites.
• Partie B : Géométrie analytique. On se place dans le repère \( (A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}) \). La première étape est de déterminer les coordonnées de plusieurs points de la figure. Ensuite, on utilise ces coordonnées pour trouver une condition sur un réel \(y\) pour que quatre points F, S, M, N soient coplanaires. Cela implique de vérifier la colinéarité des vecteurs dans un plan défini par trois des points.