Découvrez un sujet complet d'évaluation sur le chapitre des polynômes du second degré, conçu pour les élèves de Première en spécialité mathématiques. Ce contrôle de 2 heures, accompagné de son corrigé détaillé, couvre l'ensemble des compétences essentielles liées aux trinômes : résolution d'équations et d'inéquations, étude de fonctions, problèmes de modélisation et d'optimisation. C'est un excellent outil de révision pour se préparer efficacement aux examens.

Ce sujet de maths aborde de manière progressive les différentes facettes des fonctions polynômes du second degré, depuis les calculs de base jusqu'à leur application dans des contextes concrets. Chaque exercice est pensé pour tester une compétence spécifique, permettant une évaluation précise de la maîtrise du chapitre.

Exercice 1 : Équations, inéquations et interprétation graphique

Cet exercice de base permet de vérifier la maîtrise des outils fondamentaux. On considère deux fonctions polynômes du second degré, \( f(x) = 4x^2 + 8x - 5 \) et \( g(x) = 6x^2 + 13x - 8 \), et leurs courbes représentatives \( C_f \) et \( C_g \).

• Résolution d'équation : La première question demande de résoudre \( f(x) = 0 \). Il s'agit d'une application directe du calcul du discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) pour trouver les racines du trinôme.
• Résolution d'inéquation : La deuxième question consiste à résoudre l'inéquation \( f(x) \le g(x) \). Cette inéquation se ramène à l'étude du signe d'un nouveau polynôme du second degré (\( 2x^2 + 5x - 3 \ge 0 \)). La méthode classique consiste à trouver les racines de ce polynôme puis à dresser son tableau de signe.
• Interprétation graphique : La dernière question fait le lien entre le calcul et le graphique. Les solutions de \( f(x) = 0 \) sont les abscisses des points d'intersection de la parabole \( C_f \) avec l'axe des abscisses. L'ensemble des solutions de \( f(x) \le g(x) \) correspond aux intervalles sur lesquels la courbe \( C_f \) est située en dessous ou sur la courbe \( C_g \).

Exercice 2 : Discussion sur le nombre de racines (paramètre)

Cet exercice aborde la notion d'équations paramétriques. On étudie la fonction \( g(x) = 7x^2 + bx + 2 \), où \( b \) est un paramètre réel. La question est de déterminer les valeurs de \( b \) pour lesquelles la fonction \( g \) n'admet aucune racine réelle.

La clé de cet exercice réside dans l'analyse du signe du discriminant \( \Delta \). Un polynôme du second degré n'a pas de racine réelle si et seulement si son discriminant est strictement négatif (\( \Delta < 0 \)). Il faut donc calculer \( \Delta \) en fonction de \( b \), puis résoudre l'inéquation \( b^2 - 56 < 0 \) pour trouver l'intervalle des valeurs possibles pour \( b \).

Exercice 3 : Problème d'optimisation d'aire

Cet exercice est un problème de modélisation géométrique qui débouche sur l'étude d'un polynôme du second degré. Dans un carré de côté 8 cm, on définit une surface dont l'aire est donnée par la fonction \( A(x) = x^2 - 4x + 32 \), où \( x \) est une longueur variable dans l'intervalle \( [0, 8] \).

• Mise en équation : La première question de résolution demande de trouver la valeur de \( x \) pour laquelle l'aire représente 75% de l'aire totale du carré. Cela se traduit par l'équation du second degré \( x^2 - 4x + 32 = 0.75 \times 64 \), qu'il faut résoudre.
• Mise en inéquation : La seconde question demande s'il est possible que cette aire soit inférieure ou égale au quart de l'aire du carré. On doit alors étudier l'inéquation \( x^2 - 4x + 32 \le 0.25 \times 64 \). L'étude du signe du trinôme \( x^2 - 4x + 16 \) permettra de conclure. On constatera que son discriminant est négatif, ce qui signifie qu'il est toujours du signe de son coefficient dominant (positif) et donc que l'inégalité n'est jamais vérifiée.

Exercice 4 : Étude complète d'une fonction et modélisation

Cet exercice très complet utilise le polynôme du second degré pour modéliser la trajectoire d'un plongeon. La hauteur est donnée par \( f(x) = -0.2(x - 11)(x + 7) \).

• Formes d'un polynôme : Il est demandé de manipuler les différentes écritures du polynôme : passer de la forme factorisée à la forme développée, puis à la forme canonique \( f(x) = -0.2(x - 2)^2 + 16.2 \).
• Choix de la forme appropriée : L'exercice met en évidence l'intérêt de chaque forme. La forme développée est pratique pour calculer \( f(0) \), la forme factorisée pour résoudre \( f(x) \ge 0 \) (étude de signe), et la forme canonique pour déterminer le maximum de la fonction et la valeur pour laquelle il est atteint.
• Interprétation des résultats : Chaque résultat mathématique doit être traduit dans le contexte du problème : \( f(0) \) représente la hauteur initiale (la falaise), la solution positive de \( f(x) = 0 \) la distance à laquelle le plongeur entre dans l'eau, et le maximum de la fonction la hauteur maximale atteinte.

Exercice 5 : Utilisation de la somme et du produit des racines

Le dernier exercice est une application directe des relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme. On sait que \( p(x) = ax^2 + 15x + c \) a pour racines \( x_1 = 4/3 \) et \( x_2 = -1/2 \). L'objectif est de retrouver les coefficients \( a \) et \( c \).

On utilise les formules :

• Somme des racines : \( x_1 + x_2 = -b/a \)
• Produit des racines : \( x_1 \cdot x_2 = c/a \)

En remplaçant les valeurs connues, on obtient un système de deux équations simples qui permet de déterminer \( a \) et \( c \).