25. Problème d'optimisation d'aire - Valeur exacte

Introduction

C'est parti sur un problème d'optimisation extrêmement classique en contrôle. On vous donne un rectangle ABCD avec les deux longueurs de côtés A et C. Le côté A mesure 8 cm et le côté C mesure 20 cm. On place un point H tel que la forme GHIJ soit un carré, c'est-à-dire que tous les côtés sont égaux. On vous donne certaines longueurs en fonction d'un paramètre qui est \(x\) et on va vous poser des questions sur les aires.

Préparation

La première chose que je vous recommande de faire, c'est de mettre toutes les longueurs que vous pouvez déduire à partir de \(x\). Si cette longueur GH fait \(x\) (étant donné que cette forme est un carré), on a aussi \(x\) pour HI. Si vous connaissez la longueur totale qui fait 20 cm et que GH fait \(x\), la longueur HC est donc \(20 - x\). Pareil pour le côté AB, si la longueur AH fait \(x\), la longueur HB est \(8 - x\).

Question 1 : Intervalle de \(x\)

La première question est de donner l'intervalle auquel appartient \(x\). \(x\) est en fait la position du point H sur cette droite AC. \(x\) peut varier de la position A jusqu'à la position C. Dans le cas extrême, quand H est collé contre A, la valeur de \(x\) vaut 0 et quand H est décalé tout au bout, la longueur \(x\) vaut la longueur de AC, c'est-à-dire 20 cm. Donc on a envie de répondre que \(x\) est compris entre 0 et 20 cm. Cependant, cette longueur \(x\) est aussi la longueur AH. Autrement dit, quand vous déplacez le point H, le point G doit aussi remonter et le point G ne pourra pas aller plus loin que le point B. Donc en fait, la longueur maximale que pourra prendre ce côté GH est 8 cm. Donc, le point \(x\) appartient à l'intervalle [0, 8].

Question 2 : Exprimer l'aire en fonction de \(x\)

La deuxième étape est d'exprimer l'aire en bleu en fonction de \(x\). L'aire en bleu vaut l'aire du carré GHIJ plus l'aire du rectangle AHCI. L'aire du carré est \(x^2\) et l'aire du rectangle est \((20 - x) \times (8 - x)\). En développant, on obtient \(2x^2 - 28x + 160\).

Question 3 : Valeur de \(x\) pour une aire donnée

La troisième question est : pour quelle valeur de \(x\) l'aire en bleu vaut-elle 80 ? On résout donc l'équation \(2x^2 - 28x + 160 = 80\), ce qui revient à résoudre \(2x^2 - 28x + 80 = 0\). On trouve deux solutions : \(x = 4\) et \(x = 10\). Cependant, comme on a dit au début que \(x\) était forcément dans l'intervalle [0, 8], on élimine la solution \(x = 10\) pour des raisons géométriques. Donc, la valeur de \(x\) qui nous permet d'avoir une aire de 80 cm² est \(x = 4\).