Fiche de cours : Satellites et lois de Kepler — Terminale spécialité physique-chimie

Force gravitationnelle et repère de Frenet

Un satellite S de masse m tourne autour d'un astre attracteur de centre O, de masse M et de rayon R, à l'altitude h. Il subit la force gravitationnelle F = G × m M / r², dirigée selon le vecteur u_n, avec r = R + h : la force est attractive, dirigée de S vers O. Dans le repère de Frenet, u_t est tangent, dans le sens du mouvement, et u_n normal, dirigé vers O. On y écrit la vitesse v = v u_t et l'accélération a = (dv/dt) u_t + (v² / r) u_n.

Orbite circulaire : mouvement uniforme, vitesse

On se place dans le référentiel géocentrique (Terre) ou héliocentrique (Soleil), supposé galiléen ; le satellite n'est soumis qu'à la force F. La deuxième loi de Newton, m a = F, donne a = (G M / r²) u_n, indépendante de m. Par identification dans le repère de Frenet : selon u_t, dv/dt = 0, donc la vitesse est constante et le mouvement uniforme ; selon u_n, v² / r = G M / r², donc v = √(G M / (R + h)). Plus l'orbite est haute, plus le satellite est lent ; l'accélération est centripète.

Période de révolution T

La période de révolution T est la durée d'un tour : le satellite parcourt la longueur du cercle, 2π r, à la vitesse v. On écrit donc T = 2π r / v. En remplaçant v par l'expression obtenue sur l'orbite circulaire, on obtient T = 2π √(r³ / (G M)), qui ne fait intervenir que le rayon de l'orbite et la masse de l'astre attracteur.

Les trois lois de Kepler

Loi des orbites : l'orbite d'un satellite est une ellipse dont le centre de l'astre attracteur occupe l'un des foyers. Loi des aires : le segment astre–satellite balaie des aires égales pendant des durées égales, donc le satellite est plus rapide près de l'astre. Loi des périodes : T² / a³ = constante, où a est le demi-grand axe ; la constante est identique pour tous les satellites d'un même astre. Un cercle est une ellipse aux foyers confondus : a = r et le mouvement est uniforme.

Troisième loi : l'établir, l'exploiter

Pour une orbite circulaire, T = 2π r / v et v² = G M / r donnent T² / r³ = 4π² / (G M). Trois exploitations sont résumées :

• masse de l'astre attracteur : M = 4π² r³ / (G T²), avec T en s et r en m ;
• deux satellites d'un même astre : T₁² / r₁³ = T₂² / r₂³ ;
• le graphique T² = f(a³) est une droite passant par l'origine, de pente 4π² / (G M).

Satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire reste immobile par rapport au sol : il est toujours à la verticale du même point. Son orbite est circulaire, dans le plan de l'équateur ; il tourne dans le sens de la rotation de la Terre, avec une période égale à la période de rotation de la Terre. La troisième loi donne son altitude : h = ∛(G M_T T² / (4π²)) − R_T, où M_T et R_T sont la masse et le rayon de la Terre.