Un exercice de mécanique en trois temps

L'exercice 1 du sujet 1 de Métropole, juin 2021, suit la mission Apollo 11 puis une mission plus tardive où l'astronaute John Young saute à la surface de la Lune. C'est l'exercice obligatoire de l'épreuve : 10 points, environ 1 h 45. Les trois parties mobilisent l'énergie mécanique, la deuxième loi de Newton appliquée à un mouvement circulaire et la chute libre verticale. Elles sont largement indépendantes, ce qui permet de rebondir si une question résiste.

Partie 1 : le vaisseau en orbite terrestre

Question 1.1 : la durée en orbite

En 1,5 tour, le vaisseau parcourt 1,5 fois la circonférence de son orbite, à vitesse de valeur constante. On obtient Δt = 3πr / v_h = 7,9 × 10³ s, soit environ 2,2 h. Le piège est l'unité : le rayon est donné en kilomètres, il faut écrire r = 6,56 × 10⁶ m. Le résultat garde deux chiffres significatifs, comme « 1,5 tour ».

Questions 1.2 et 1.3 : énergies et rôle de Saturn V

L'énergie cinétique vaut 1,37 × 10¹² J ; attention à bien élever au carré la puissance de dix de la vitesse. Avec l'énergie potentielle fournie, l'énergie mécanique vaut −1,37 × 10¹² J. Son signe négatif traduit un système lié à la Terre. L'énergie minimale à fournir est une variation « état final moins état initial » : 1,44 × 10¹² J, inférieure aux 5 × 10¹² J dont Saturn V est capable. Calculer l'inverse donne une énergie négative, signe d'une erreur. La question 1.3.2 est qualitative : immobile par rapport au sol, le vaisseau est pourtant en mouvement dans le référentiel géocentrique, donc son énergie cinétique n'y est pas nulle.

Partie 2 : en orbite autour de la Lune

Questions 2.1 et 2.2 : accélération et vitesse

La deuxième loi de Newton, avec la seule force d'attraction lunaire, donne une accélération centripète de norme G·M_L / (R_L + h_L)². Deux erreurs classiques : prendre h_L au lieu de R_L + h_L, et utiliser la masse du vaisseau au lieu de celle de la Lune. Pour établir l'expression de la vitesse, il faut citer le repère de Frenet et le caractère uniforme du mouvement avant d'écrire a = v²/r : cette justification est notée.

Question 2.3 : période et nombre de tours

Avec R_L + h_L = 1,84 × 10⁶ m, la période vaut T = 7,09 × 10³ s. Le séjour de 21 h 36 min correspond à 21,6 h, et non 21,36 h. Michael Collins a donc fait environ 11 tours autour de la Lune.

Partie 3 : le saut de John Young

La modélisation y(t) = −0,86 t² + 1,4 t se dérive en v_y(t) = −1,72 t + 1,4, d'où v_0y = 1,4 m·s⁻¹. Une nouvelle dérivation donne g_L ≈ 1,7 m·s⁻² : c'est la coordonnée a_y qui est négative, pas l'intensité de la pesanteur. Sur Terre, avec la même vitesse initiale, le saut atteindrait 0,10 m et durerait 0,29 s, environ six fois moins que sur la Lune. Ne confondez pas la durée de la montée (0,14 s) avec celle du saut, et laissez de côté la masse de 150 kg : en chute libre, le mouvement n'en dépend pas.

Conseils pour réussir

Convertissez systématiquement les kilomètres en mètres et les heures en secondes avant tout calcul. Rédigez la démarche complète de la deuxième loi de Newton : système, référentiel, force, projection. Enfin, gardez en tête que hauteur et durée d'un saut sont inversement proportionnelles à g : ce raisonnement permet de contrôler le résultat de la dernière question.