Fiche de cours : Circuit RC — Terminale spécialité physique-chimie

Le condensateur

Un condensateur est formé de deux armatures conductrices en regard, séparées par un isolant : elles portent des charges opposées +q et −q. La charge est proportionnelle à la tension : q = C u_C. Comme l'intensité est le débit de charge, i = dq/dt, on obtient i = C × du_C/dt. La charge q s'exprime en coulomb (C), u_C en volt (V), i en ampère (A) et la capacité C en farad (F).

Capacité et géométrie : capteur capacitif

Pour un condensateur plan dont les armatures ont une surface S et sont séparées par un isolant de permittivité ε et d'épaisseur e, la capacité vaut C = ε S / e. Elle augmente si S ou ε augmente, ou si l'épaisseur e diminue. Dans un capteur capacitif, la grandeur mesurée modifie e, S ou ε, donc la capacité C, donc le temps caractéristique τ = RC du circuit dans lequel le condensateur est placé.

Circuit RC série : loi des mailles

Le circuit associe en série une source de tension E, un interrupteur K, un conducteur ohmique R et le condensateur C. Pendant la charge, avec la source, la loi des mailles s'écrit E = u_R + u_C ; pendant la décharge, sans source, elle devient u_R + u_C = 0. La loi d'Ohm donne u_R = R i. Les tensions sont fléchées en convention récepteur : les flèches de u_R et de u_C sont opposées au sens de i.

Établir l'équation différentielle vérifiée par uC

La méthode suit quatre étapes : écrire la loi des mailles, puis la loi d'Ohm u_R = R i, puis la relation i = C × du_C/dt ; on remplace, puis on divise par RC. On obtient, pour la charge, du_C/dt + u_C / τ = E / τ et, pour la décharge, du_C/dt + u_C / τ = 0. Le temps caractéristique vaut τ = RC ; il s'exprime en seconde, car Ω·F = (V / A) × (A·s / V) = s.

Solutions : uC(t) = A e−t/τ + B

Les solutions sont de la forme u_C(t) = A e^−t/τ + B. La constante B est la valeur de u_C en régime permanent, quand du_C/dt = 0 ; la constante A est donnée par la condition initiale u_C(0). Pour la charge, avec u_C(0) = 0 : u_C(t) = E (1 − e^−t/τ). Pour la décharge, avec u_C(0) = E : u_C(t) = E e^−t/τ. Pour vérifier une solution, on la dérive, on la reporte dans l'équation, puis on identifie τ.

Lire τ sur la courbe uC(t)

Trois lectures graphiques permettent de trouver τ sur les courbes de charge et de décharge :

• à la date t = τ, u_C = 0,63 E pour la charge, ou u_C = 0,37 E pour la décharge ;
• la tangente à l'origine coupe l'asymptote, u_C = E pour la charge ou 0 pour la décharge, à la date t = τ ;
• à t = 5τ, le régime permanent est atteint à 99 %.