Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques complet pour la classe de Terminale spécialité, accompagné de son analyse détaillée. Ce sujet, d'une durée d'1h10, porte sur deux chapitres clés du programme : la loi binomiale et les fonctions trigonométriques. Idéal pour s'entraîner et réviser avant le baccalauréat, ce contrôle corrigé vous permettra de tester vos connaissances et de maîtriser les compétences essentielles.

Ce document est une ressource pédagogique précieuse pour les élèves de Terminale et les enseignants. Chaque exercice est décortiqué pour mettre en lumière les méthodes de résolution et les savoir-faire attendus.

Exercice 1 : Exploration de la Loi Binomiale (6 points)

Cet exercice se concentre sur la manipulation des paramètres et le calcul de probabilités liées à la loi binomiale. Il est conçu pour évaluer votre compréhension approfondie de cette loi de probabilité discrète.

• Question 1 : On vous demande de calculer une probabilité sur un intervalle pour une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(100; 0,4)\). Il s'agit de déterminer \(P(45 \le X \le 55)\). Cette question teste votre capacité à utiliser la fonction de répartition de la loi binomiale sur votre calculatrice, souvent notée `BinomFRép` ou `binomcdf`.
• Question 2 : Un problème inverse. Connaissant la probabilité \(P(X=0) = \frac{1}{125}\) pour une variable \(X\) suivant une loi \(\mathcal{B}(3; p)\), il faut retrouver la valeur du paramètre \(p\). Cela implique de poser l'équation à partir de la formule de la loi binomiale, \(P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), et de la résoudre.
• Question 3 : Cette question fait le lien entre probabilités et analyse de fonctions.
  • a. On vous demande d'identifier la signification de la fonction \(f(p) = 100p(1-p)\) pour une variable aléatoire suivant la loi \(\mathcal{B}(100; p)\). Il faut reconnaître l'expression de la variance \(V(X) = np(1-p)\).
  • b. Vous devez ensuite étudier les variations de cette fonction \(f\) (un polynôme du second degré) sur l'intervalle \([0; 1]\) pour trouver la valeur de \(p\) qui maximise la variance.
  • c. Enfin, il faut interpréter ce résultat : la variance, qui mesure la dispersion de la variable aléatoire, est maximale lorsque la probabilité de succès \(p\) est de 0,5, c'est-à-dire en situation d'incertitude maximale.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Schéma de Bernoulli (8 points)

Cet exercice en deux parties aborde un problème concret de contrôle qualité dans un magasin, mêlant probabilités conditionnelles, arbres pondérés et loi binomiale.

Partie A : Analyse d'un contrôle

Cette partie s'appuie sur les probabilités conditionnelles pour modéliser une situation.

• Question 1 : La première étape consiste à construire un arbre pondéré pour représenter la situation décrite (type de contrôle et détection d'erreur). À partir de cet arbre, vous devez calculer la probabilité de l'intersection de deux événements, \(P(T \cap E)\).
• Question 2 : En utilisant l'arbre, il faut calculer la probabilité totale d'un événement (la détection d'une erreur), \(P(E)\), en appliquant la formule des probabilités totales.
• Question 3 : Il s'agit ici de calculer une probabilité conditionnelle "inversée", \(P(T | E)\), c'est-à-dire la probabilité que le contrôle ait été total sachant qu'une erreur a été détectée. Cela nécessite d'utiliser la définition d'une probabilité conditionnelle : \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\).

Partie B : Répétition d'épreuves indépendantes

Cette partie modélise la répétition de 15 contrôles indépendants sur une journée.

• Question 1 : Vous devez justifier que la variable aléatoire \(X\), comptant le nombre d'erreurs détectées, suit une loi binomiale. Il faut pour cela vérifier les conditions d'application d'un schéma de Bernoulli : répétition d'épreuves identiques et indépendantes à deux issues. Vous préciserez ensuite les paramètres \(n\) et \(p\) de la loi.
• Question 2 : Calcul d'une probabilité ponctuelle \(P(X=5)\) à l'aide de la calculatrice.
• Question 3 : Calcul de la probabilité d'avoir "au moins une erreur", \(P(X \ge 1)\). L'astuce est de passer par l'événement contraire : \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\).
• Question 4 : Une question classique de recherche d'un nombre minimal d'essais. On cherche le plus petit entier \(n\) (nombre de contrôles) tel que la probabilité d'avoir au moins une erreur soit supérieure à un seuil (99%). Cela conduit à résoudre une inéquation de la forme \((1-p)^n < 0,01\), généralement à l'aide de la fonction logarithme.

Exercice 3 : Fonctions Trigonométriques (6 points)

Le dernier exercice est consacré à la trigonométrie, avec la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi qu'un calcul de dérivée impliquant une fonction trigonométrique.

• Question 1 : Résolution de l'équation \(\cos(3x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0\). Il faut d'abord l'isoler pour obtenir une forme classique \(\cos(U) = A\), puis trouver les solutions pour \(U\) sur le cercle trigonométrique, et enfin en déduire les solutions pour \(x\) sur \(\mathbb{R}\), puis sur l'intervalle spécifié \(]0; \pi]\).
• Question 2 : Résolution de l'inéquation \(\sin(x) \le \frac{1}{2}\) sur l'intervalle \([-\pi; \pi]\). La méthode consiste à s'appuyer sur le cercle trigonométrique pour identifier les arcs de cercle où le sinus est inférieur ou égal à \(1/2\).
• Question 3 : Calcul de la dérivée de la fonction \(f(x) = -2\cos(\frac{1}{x})\). Cette question évalue votre maîtrise de la dérivation des fonctions composées. En posant \(u(x) = \frac{1}{x}\), la fonction est de la forme \(\cos(u(x))\), dont la dérivée est \(-u'(x)\sin(u(x))\).