Ce document présente un sujet de Bac Blanc de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité. Il s'agit d'un contrôle complet de 4 heures, idéal pour s'entraîner dans les conditions de l'examen final. Ce sujet, accompagné de son analyse de compétences, est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant réviser et maîtriser les chapitres clés du programme. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants balayant les thèmes des suites numériques, des probabilités, de la géométrie dans l'espace et de l'analyse de fonction.
Exercice 1 : Étude d'une suite arithmético-géométrique
Cet exercice porte sur la modélisation d'une population animale à l'aide d'une suite. La situation mène à une suite arithmético-géométrique définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,95 u_n + 250$, avec un terme initial $u_0 = 1500$. Les questions abordées sont classiques et fondamentales pour la maîtrise du chapitre sur les suites.
- Calcul des premiers termes de la suite pour comprendre son comportement initial.
- Interprétation d'une fonction Python qui calcule un terme de rang $n$, liant les mathématiques à l'informatique.
- Mise en œuvre d'un raisonnement par récurrence pour démontrer que la suite est majorée, une compétence essentielle de logique mathématique.
- Étude du sens de variation de la suite pour prouver qu'elle est croissante.
- Application du théorème de la convergence monotone (une suite croissante et majorée converge).
- Utilisation de la méthode classique de la suite auxiliaire géométrique $(v_n)$ pour déterminer la forme explicite de $(u_n)$, menant à l'expression $u_n = 5000 - 3500 \times 0,95^n$.
- Calcul de la limite de la suite et interprétation du résultat dans le contexte du problème.
- Écriture d'un programme Python permettant de déterminer un seuil.
Exercice 2 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale
Le deuxième exercice est un problème de probabilités centré sur un test de dépistage d'une maladie. C'est un excellent entraînement sur les probabilités conditionnelles et les lois de probabilité discrètes.
- Construction d'un arbre pondéré pour modéliser la situation à partir des données de l'énoncé (prévalence de la maladie, taux de faux positifs et de faux négatifs).
- Calcul de la probabilité d'une intersection d'événements en utilisant les branches de l'arbre.
- Application de la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.
- Calcul d'une probabilité conditionnelle "inversée" ($P(M|T)$), souvent associée au théorème de Bayes.
- Reconnaissance d'un schéma de Bernoulli dans une situation de tirages répétés et indépendants, menant à la justification d'une loi binomiale.
- Calcul de probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale, notamment la probabilité d'un événement exact ($P(X=k)$) et d'un événement cumulé ($P(X \ge k)$).
Exercice 3 : QCM de géométrie dans l'espace
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui évalue des compétences fondamentales en géométrie dans l'espace. Il demande rapidité et précision dans l'application des formules et des raisonnements.
- Question 1 : Vérifier si les coordonnées d'un point satisfont une représentation paramétrique d'une droite.
- Question 2 : Déterminer la représentation paramétrique d'une droite passant par deux points en calculant les coordonnées d'un vecteur directeur.
- Question 3 : Étudier la position relative de deux droites en analysant la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
- Question 4 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan défini par un point et une droite qui lui est orthogonale. Le vecteur directeur de la droite devient alors un vecteur normal au plan.
- Question 5 : Mobiliser le calcul vectoriel avec les coordonnées pour trouver un point défini par une relation du type $\vec{EM} = 2\vec{EF} + \vec{EG}$.
Exercice 4 : Étude complète d'une fonction avec exponentielle
Le dernier exercice est une analyse de fonction très complète, un incontournable du baccalauréat. La fonction étudiée est $f(x) = (2 - x)e^{2x-1}$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$.
- Calcul de limites aux bornes de l'ensemble de définition, impliquant la fonction exponentielle.
- Calcul de la fonction dérivée en utilisant la formule de dérivation d'un produit.
- Étude du signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variations complet de la fonction.
- Application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation $f(x)=0$.
- Étude de la convexité de la fonction via le signe de la dérivée seconde $f''(x)$, et détermination des coordonnées d'un éventuel point d'inflexion.
- Détermination de l'équation de la tangente à la courbe en un point d'abscisse donné.
- Étude de la position relative de la courbe par rapport à sa tangente, en se servant des informations sur la convexité.
En somme, ce contrôle corrigé est un excellent outil de préparation qui couvre une large partie du programme de spécialité mathématiques de Terminale.