Ce document est un sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la classe de Première, d'une durée de 2 heures. Il est conçu pour évaluer les compétences des élèves sur plusieurs chapitres clés du programme de spécialité mathématiques. Le contrôle est structuré en deux parties : une première partie d'automatismes sous forme de QCM et une deuxième partie composée de trois exercices de synthèse. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous auto-évaluer et de comprendre les méthodes de résolution attendues.

Première Partie : Automatismes - QCM (6 points)

Cette section teste des compétences de base à travers une série de questions à choix multiples. Elle couvre divers domaines :

• Question 1 : Réduction d'expressions fractionnaires au même dénominateur. Il s'agit de mettre l'expression \( \frac{1}{3} - \frac{2-x}{2} \) sous la forme \( \frac{a+bx}{c} \).
• Question 2 : Calcul numérique impliquant des additions et divisions de fractions.
• Question 3 : Manipulation d'une relation algébrique, \(C = \frac{2}{x} + \frac{3}{y}\), pour isoler une variable en fonction des autres.
• Question 4 : Résolution d'un problème de proportion simple dans un contexte de club sportif.
• Question 5 : Conversion d'unités de débit, de \(m^3 \cdot h^{-1}\) en \(L \cdot s^{-1}\).
• Question 6 : Résolution graphique et par le calcul d'une inéquation du second degré, \(f(x) \le 5\), à partir de la courbe de la fonction \(f(x) = -x^2+10\).
• Question 7 : Calcul d'une moyenne pondérée où l'une des valeurs est une inconnue à déterminer.
• Question 8 : Application de pourcentages successifs pour calculer un taux d'évolution global.

Exercice 1 : Étude de fonctions et de suites (~6 points)

Cet exercice se divise en deux parties, l'une sur les fonctions (modèle continu) et l'autre sur les suites (modèle discret), illustrant les liens entre ces deux notions.

Partie A : Modèle continu

On étudie la fonction affine \(f(x) = x-2\) et la fonction homographique \(g(x) = \frac{3+x}{2x}\).

• Question 1 & 2 : Détermination des points d'intersection des courbes de f et g. Cela revient à résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\), qui se transforme en une équation du second degré \(-2x^2 + 5x + 3 = 0\).
• Question 3 & 4 : Étude de la position relative des deux courbes. Il faut pour cela dresser le tableau de signes de la différence \(g(x) - f(x)\). Le signe de cette différence indique quelle courbe est au-dessus de l'autre.

Partie B : Modèle discret

On analyse les suites \(u_n = f(n) = n-2\) (suite arithmétique) et \(v_n = g(n) = \frac{3+n}{2n}\).

• Question 1 : Pour chaque suite, on demande le calcul de termes, l'expression du terme général d'indice \(n+1\) et l'étude de leur sens de variation, par exemple en étudiant le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
• Question 2 : On définit une nouvelle suite \(w_n = v_n - u_n\) et on demande d'étudier son sens de variation.

Exercice 2 : Modélisation avec une fonction trigonométrique (~2 points)

Cet exercice aborde la modélisation d'un phénomène physique, le mouvement d'un piston, à l'aide de fonctions trigonométriques.

• Le déplacement est modélisé par \(h(t) = 0,05 \cos(13t)\) et la vitesse par \(v(t) = -0,65 \sin(13t)\).
• Question 1 : Il faut déterminer les vitesses maximale et minimale du piston. Cela correspond aux extrema de la fonction v(t), atteints lorsque \(\sin(13t) = \pm 1\).
• Question 2 : On cherche les instants où la vitesse est nulle, ce qui revient à résoudre l'équation trigonométrique \(\sin(13t) = 0\).

Exercice 3 : Géométrie et produit scalaire (~6 points)

Cet exercice est entièrement dédié au produit scalaire, traité d'abord dans un cadre purement géométrique, puis dans un repère orthonormé.

Partie A : Produit scalaire sans coordonnées

Dans un rectangle, on utilise les propriétés du produit scalaire.

• Question 1 : Il s'agit de démontrer que \(\vec{EK} \cdot \vec{EM} = 5\) en utilisant la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs et les propriétés du produit scalaire (distributivité, vecteurs orthogonaux).
• Question 2 : En utilisant la définition du produit scalaire par la projection orthogonale (\(\vec{EK} \cdot \vec{EM} = \vec{EL} \cdot \vec{EM}\)) et par les normes et l'angle (\(\vec{EK} \cdot \vec{EM} = ||\vec{EK}|| \cdot ||\vec{EM}|| \cdot \cos(\widehat{KEM})\)), on détermine une longueur et une mesure d'angle.

Partie B : Produit scalaire avec coordonnées

L'étude se place dans un repère orthonormé.

• Question 1 : On exprime le produit scalaire \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}\) en fonction d'une variable x, aboutissant à un polynôme du second degré \(f(x) = x^2+2x-6\).
• Question 2 : La condition d'orthogonalité de deux vecteurs (produit scalaire nul) est utilisée pour trouver les valeurs de x pour lesquelles le triangle OAB est rectangle en O.
• Question 3 : On étudie les variations du polynôme \(f(x)\) pour trouver son minimum. Ce minimum correspond à la valeur pour laquelle le produit scalaire \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}\) est minimal. On en déduit ensuite une mesure de l'angle \(\widehat{BOA}\).