Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité. Ce devoir, d'une durée de 2 heures, couvre trois chapitres essentiels du programme : les Automatismes, la Dérivation Locale et les Probabilités Conditionnelles. Idéal pour s'entraîner et valider ses acquis, ce document propose une analyse complète, exercice par exercice, pour vous aider à progresser.

Exercice 1 : Test d'automatismes (QCM)

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) de 6 points conçu pour évaluer la maîtrise des savoir-faire de base. Aucune justification n'est demandée, mais une bonne compréhension des notions est cruciale pour choisir la bonne réponse.

• Question 1 : Résolution de l'inéquation du second degré \(2x^2 - 8 \le 0\). Il s'agit de trouver les racines du polynôme et d'étudier son signe.
• Question 2 : Application des pourcentages dans une situation concrète de gestion de stockage d'un smartphone. Un calcul simple mais qui demande de la rigueur.
• Question 3 : Résolution d'une équation de la forme \((x-a)^2 = b\), une variante simple d'une équation du second degré.
• Question 4 : Calcul de l'image d'un nombre par une fonction polynomiale de degré 3, \(f(x) = -2x^3 + 1\).
• Question 5 : Manipulation des fractions et des puissances avec l'expression \((\frac{3}{7})^3 \times (\frac{14}{9})^2\).
• Question 6 : Identification d'une fonction dont le signe est constant sur \(\mathbb{R}\). Cela nécessite d'analyser le discriminant de polynômes du second degré.

Exercice 2 : Vrai ou Faux sur la Dérivation Locale

Cet exercice de 6 points demande de juger de la véracité de trois affirmations sur la dérivation, en justifiant chaque réponse. C'est un excellent test pour vérifier la compréhension du concept de nombre dérivé et de tangente.

• Affirmation 1 : Détermination de l'équation de la tangente à la courbe de la fonction \(u(x) = x^2 + 1\) au point d'abscisse 1. L'exercice teste la capacité à appliquer la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
• Affirmation 2 : Étude de la dérivabilité de la fonction racine carrée \(v(x) = \sqrt{x}\) en un point où elle est bien définie (\(x=4\)) et calcul du nombre dérivé.
• Affirmation 3 : Étude de la dérivabilité de la fonction \(w(x) = \sqrt{x+2}\) en \(x=-2\), c'est-à-dire à la borne de son ensemble de définition. Un point classique qui met en lumière les limites de la dérivabilité.

Exercice 3 : Étude d'une fonction et de ses tangentes

Centré sur la fonction inverse au carré \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), cet exercice de 6 points explore en profondeur les liens entre dérivée et propriétés géométriques de la courbe.

1. Calcul de la dérivée de \(f\) en un point \(a > 0\), en montrant que \(f'(a) = -\frac{2}{a^3}\).
2. Recherche de l'existence de tangentes horizontales, ce qui revient à résoudre l'équation \(f'(x) = 0\).
3. Vérification d'une identité remarquable cubique \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\), un prérequis pour la question suivante.
4. Recherche de tangentes parallèles à une droite d'équation donnée, ce qui se traduit par la résolution de l'équation \(f'(x) = -2\).

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles dans un Restaurant

Ce problème de 8 points est un cas d'étude classique sur les probabilités conditionnelles. Il met en scène les choix de desserts et de café des clients d'un restaurant, une situation idéale pour la modélisation avec un arbre de probabilités.

• Construction d'un arbre pondéré pour décrire la situation.
• Définition d'événements et de probabilités conditionnelles comme \(P(T \cap C)\) et \(P_M(C)\).
• Calcul de la probabilité d'une intersection et application de la formule des probabilités totales pour trouver \(P(C)\).
• Calcul de la probabilité d'une union \(P(T \cup C)\) et interprétation du résultat.
• Calcul d'une probabilité "a posteriori" en utilisant la formule de Bayes (ou en inversant l'arbre) pour trouver la probabilité d'avoir pris une tarte sachant que le client a pris un café.

Exercice 5 : Test de Dépistage et Probabilités

Ce dernier exercice de 4 points aborde les notions de sensibilité et de valeur prédictive positive (VPP) d'un test médical à travers un tableau de contingence.

1. Traduction des termes "sensibilité" et "VPP" en langage des probabilités conditionnelles.
2. Complétion d'un tableau à double entrée à partir des données fournies (nombre total de personnes, prévalence de la maladie, etc.).
3. Calcul effectif de la VPP et de la sensibilité du test en utilisant les effectifs du tableau. Cet exercice illustre l'importance de bien interpréter les résultats d'un test de dépistage.