Analyse et Corrigé du Contrôle de Maths - Première Spécialité

Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour la classe de Première spécialité. Ce sujet, d'une durée d'1h50, couvre trois chapitres essentiels du programme : la géométrie repérée, les probabilités conditionnelles et les suites numériques. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à maîtriser les compétences clés et à vous préparer efficacement pour vos évaluations. Ce document est une ressource idéale pour les élèves de Première souhaitant s'entraîner avec un sujet de maths type bac et valider leurs connaissances.

Exercice 1 : Géométrie Repérée dans le plan (6 points)

Cet exercice se concentre sur les bases de la géométrie analytique. À partir des coordonnées de trois points M(-1; 3), N(1; -2), et P(5; 3) dans un repère orthonormé, il s'agit de manipuler les équations de droites, un savoir-faire fondamental.

• Question 1 : Démontrer l'équation d'une médiatrice. Il faut prouver que la médiatrice du segment [MN] a pour équation cartésienne \(4x - 10y + 5 = 0\). La méthode classique consiste à :
  1. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [MN].
  2. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{MN}\), qui est un vecteur normal à la médiatrice.
  3. Utiliser le fait qu'une droite de vecteur normal \(\vec{n}(a, b)\) a une équation de la forme \(ax + by + c = 0\).
  4. Remplacer a et b par les coordonnées de \(\vec{MN}\) et injecter les coordonnées du point I pour trouver la constante c.
• Question 2 : Appliquer la même méthode rigoureuse pour déterminer l'équation de la médiatrice du segment [MP].
• Question 3 : Trouver les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle MNP. Il faut se souvenir que ce point est l'intersection des médiatrices. La résolution d'un système de deux équations à deux inconnues (les équations des deux médiatrices trouvées précédemment) donne les coordonnées recherchées.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Suites (9 points)

Cet exercice complet et exigeant combine les probabilités et les suites dans un problème concret de déplacement aléatoire d'un robot. On étudie la probabilité \(p_n = P(D_n)\) que le robot se déplace à droite au n-ième déplacement.

• Question 1 & 2 : Il s'agit de modéliser la situation avec un arbre pondéré pour les deux premiers déplacements, puis d'utiliser la formule des probabilités totales pour calculer \(p_2\) : \(P(D_2) = P(D_2 \cap D_1) + P(D_2 \cap \bar{D_1})\).
• Question 3 : Calculer une probabilité conditionnelle 'inversée', typique du raisonnement de Bayes : la probabilité que le premier déplacement ait été à droite sachant que le deuxième l'a été. C'est une application directe de la formule \(P_{D_2}(D_1) = \frac{P(D_1 \cap D_2)}{P(D_2)}\).
• Question 4 : Établir une relation de récurrence entre \(p_{n+1}\) et \(p_n\). Encore une fois, la formule des probabilités totales est la clé, menant à une suite arithmético-géométrique de la forme \(p_{n+1} = ap_n + b\).
• Question 5 : Traduire la relation de récurrence en un algorithme Python qui calcule \(p_n\) pour un rang n donné.
• Question 6 & 7 : Résoudre la suite arithmético-géométrique. La méthode classique est employée : on introduit une suite auxiliaire \(u_n = p_n - \alpha\) choisie pour être géométrique. On exprime ensuite \(u_n\) en fonction de n, puis on en déduit l'expression explicite de \(p_n\).

Exercice 3 : Étude d'une Suite Numérique (5 points)

Cet exercice est une étude approfondie d'une suite définie par une relation de récurrence impliquant une racine carrée : \(u_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{2}u_n^2 + 12}\).

• Question 1 : Calcul des premiers termes de la suite pour se familiariser avec son comportement.
• Question 2, 3 & 4 : La résolution passe par l'introduction d'une suite auxiliaire, \(v_n = u_n^2 - 4\). L'objectif est de montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique. On exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) pour trouver la raison. Une fois la nature de \((v_n)\) établie, on peut trouver sa forme explicite, puis, par substitution, celle de \(u_n^2\) et enfin celle de \(u_n\).

Exercice 4 : Suites Arithmétiques et Géométriques (7 points)

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes pour tester les connaissances fondamentales sur les deux types de suites principaux du programme de Première.

• Partie 1 (Suite arithmétique) :
  • À partir de deux termes connus (\(u_3=4\) et \(u_{10}=25\)), on détermine la raison r.
  • On calcule ensuite la somme des 10 premiers termes.
  • Un algorithme Python est à compléter pour automatiser le calcul de la somme.
• Partie 2 (Suite géométrique) :
  • On donne l'expression explicite d'une suite géométrique à partir de sa raison et de son premier terme.
  • On étudie son sens de variation.
  • On calcule une somme de termes consécutifs (de l'indice 5 à 15) avec la formule appropriée.

Exercice 5 : Indépendance en Probabilités (3 points)

Un court exercice pour vérifier la compréhension de la notion d'indépendance de deux événements.

• Le problème met en scène une situation simple avec deux événements A et B. On dispose de \(P(A)\), \(P(B|A)\) et \(P(B|\bar{A})\).
• Pour déterminer si A et B sont indépendants, il faut calculer \(P(B)\) en utilisant la formule des probabilités totales, puis comparer cette valeur à \(P(B|A)\). Si \(P(B) = P(B|A)\), les événements sont indépendants. Sinon, ils sont dépendants.