Découvrez ce sujet de contrôle complet sur les suites numériques et le raisonnement par récurrence, spécialement conçu pour les élèves de Terminale avec la spécialité mathématiques. Ce document est une excellente ressource pour s'entraîner et maîtriser les concepts clés de ce chapitre fondamental du programme. Le sujet aborde en profondeur les suites arithmético-géométriques, les suites homographiques, les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, et renforce la maîtrise du raisonnement par récurrence à travers des applications variées. Chaque exercice est pensé pour développer la rigueur et les capacités d'analyse.

Ce contrôle de maths corrigé vous permettra de vous évaluer sur des problèmes concrets, incluant de la modélisation, l'étude de fonctions associées à des suites, et même un peu d'algorithmique. C'est un outil parfait pour préparer efficacement vos prochaines évaluations et l'épreuve du baccalauréat.

Exercice 1 : Étude d'une suite arithmético-géométrique et algorithme

Cet exercice s'appuie sur une situation concrète de modélisation du nombre d'employés en télétravail dans une entreprise. Il est divisé en deux parties indépendantes, permettant de balayer plusieurs types de raisonnement.

• Partie A : Suite arithmético-géométrique

  On étudie la suite \( (a_n) \) définie par \( a_0 = 200 \) et la relation de récurrence \( a_{n+1} = 0,85a_n + 450 \). Cette partie est un classique sur les suites arithmético-géométriques. Pour l'étudier, on introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = a_n - 3000 \). Les questions vous guident pas à pas :

  1. Démontrer que la suite auxiliaire \( (v_n) \) est une suite géométrique, en précisant sa raison (ici, 0,85).
  2. Exprimer le terme général \( v_n \) en fonction de \( n \).
  3. En déduire l'expression explicite de \( a_n \) en fonction de \( n \), qui est \( a_n = -2800 \times 0,85^n + 3000 \).
  4. Déterminer le sens de variation de la suite \( (a_n) \).
  5. Compléter un algorithme en Python (fonction seuil()) qui détermine le nombre de mois nécessaires pour que le nombre de télétravailleurs dépasse un certain seuil (2500).
• Partie B : Étude d'une suite par une fonction associée

  Cette partie modélise la satisfaction des collaborateurs avec une suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \frac{5u_n + 4}{u_n + 2} \). L'étude repose sur la fonction associée \( f(x) = \frac{5x + 4}{x + 2} \).

  1. Démontrer que la fonction \( f \) est strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \), généralement en étudiant le signe de sa dérivée.
  2. Utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer que la suite est minorée, c'est-à-dire que pour tout entier naturel \( n \), on a \( 0 \le u_n \).
  3. Démontrer, toujours par récurrence, que la suite \( (u_n) \) est croissante, en s'appuyant sur la croissance de la fonction \( f \).

Exercice 2 : Suite homographique et suite auxiliaire arithmétique

Cet exercice propose l'étude d'une suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = \frac{1}{2} \) et \( u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n} \). L'objectif est de trouver son expression explicite par deux méthodes.

• Partie A : Utilisation d'une suite auxiliaire

  On introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = \frac{1}{u_n} + 1 \).

  1. La première étape consiste à démontrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique, en calculant la différence \( v_{n+1} - v_n \) et en montrant qu'elle est constante.
  2. On détermine ensuite l'expression de \( v_n \) en fonction de \( n \), puis on "inverse" la relation pour trouver la forme explicite de \( u_n \).
• Partie B : Démonstration par récurrence

  Cette partie propose de démontrer directement par récurrence la forme explicite conjecturée ou donnée : \( \forall n \in \mathbb{N}, u_n = \frac{1}{2+n} \). C'est une application directe de la méthode de démonstration par récurrence.

Exercice 3 : Suite récurrente linéaire d'ordre 2

Le dernier exercice porte sur une suite récurrente linéaire d'ordre 2 : \( u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n \), avec \( u_0 = -1 \) et \( u_1 = \frac{1}{2} \). La résolution est astucieusement guidée par l'introduction de deux suites auxiliaires.

1. On définit d'abord la suite \( (v_n) \) par \( v_n = u_{n+1} - \frac{1}{2}u_n \). Il faut montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique et trouver son expression explicite.
2. On introduit une seconde suite auxiliaire \( (w_n) \) définie par \( w_n = \frac{u_n}{v_n} \). On montre cette fois que \( (w_n) \) est une suite arithmétique, puis on détermine sa forme explicite.
3. En combinant les résultats précédents (puisque \( u_n = w_n \times v_n \)), on aboutit à l'expression explicite de \( u_n \), soit \( u_n = \frac{2n - 1}{2^n} \).
4. Une question bonus propose de prouver par récurrence une formule pour la somme des termes \( S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \).