Découvrez le corrigé détaillé d'une évaluation de mathématiques de niveau Première, spécialité maths, entièrement consacrée au chapitre sur les polynômes du second degré. Ce sujet complet d'une heure est un excellent outil de révision pour maîtriser toutes les facettes des fonctions trinômes, de la résolution algébrique à l'analyse graphique. Ce contrôle corrigé est structuré en trois exercices progressifs qui balayent l'ensemble des compétences attendues.

Exercice 1 : Techniques élémentaires sur les polynômes

Cet exercice de ce sujet de maths a pour but de vérifier la maîtrise des outils fondamentaux liés aux fonctions du second degré. Il est divisé en deux parties : la résolution d'équations et inéquations variées, puis une étude approfondie des trinômes.

• Question 1.a) : Résolution de l'inéquation \(4(-2x - 5) < x^2(-2x - 5)\). Cette question demande de ne pas tomber dans le piège de la simplification par \(-2x-5\). La méthode correcte consiste à tout regrouper du même côté, à factoriser par le facteur commun \(-2x-5\) pour obtenir une inéquation produit de la forme \((x^2-4)(-2x-5) > 0\). Il faut ensuite réaliser un tableau de signes pour conclure sur l'ensemble des solutions.
• Question 1.b) : Résolution de l'équation rationnelle \(\frac{5}{-4x + 2} = \frac{7}{3x - 1}\). Il s'agit ici d'appliquer le produit en croix après avoir déterminé les valeurs interdites. L'équation se ramène à une simple équation du premier degré.
• Question 2.a) : Pour le polynôme \(f(x) = -2x^2 + 8x + 42\), il est demandé de trouver ses formes factorisée et canonique. Cela implique le calcul du discriminant \(\Delta\), la recherche des racines \(x_1\) et \(x_2\), puis l'application des formules de cours pour écrire \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\) et \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\).
• Question 2.b) : Résolution de l'équation classique du second degré \(5x^2 - 49x = 10\). La première étape est de la mettre sous la forme \(ax^2+bx+c=0\), puis de calculer le discriminant \(\Delta\) et d'en déduire les solutions.
• Question 2.c) : Résolution de deux inéquations du second degré : \(-3x^2 < 7x + 10\) et \(2x^2 - 26x + 44 > 0\). Pour chacune, il faut trouver les racines du trinôme associé et dresser son tableau de signes en utilisant la règle du signe de \(a\) à l'extérieur des racines.
• Question 2.d) : Établissement du tableau de variation de \(f(x) = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}\). Il faut calculer l'abscisse du sommet \(\alpha = -\frac{b}{2a}\), son ordonnée \(\beta = f(\alpha)\), et utiliser le signe de \(a\) pour déterminer si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, et donc les variations de la fonction.
• Question 2.e) : Pour \(f(x) = 3x^2 + x - 2\), on demande de trouver une racine évidente (souvent 1, -1, 2 ou -2) puis de déduire la seconde sans le discriminant. La méthode consiste à utiliser les relations entre somme et produit des racines : \(x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\) et \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\).
• Question 2.f) : Détermination d'une fonction polynôme \(f\) connaissant ses racines 5 et -4, et une condition supplémentaire \(f(0) = 3\). On part de la forme factorisée \(f(x) = a(x-5)(x+4)\) et on utilise la condition donnée pour trouver la valeur du coefficient \(a\).
• Question 2.g) : Étude d'une équation avec paramètre : \(mx^2 - 6x + m = 0\). Il faut déterminer les valeurs du réel \(m\) pour que l'équation admette deux solutions distinctes. Cela revient à poser les conditions \(m \neq 0\) (pour que ce soit bien du second degré) et \(\Delta > 0\), où le discriminant \(\Delta\) dépend de \(m\).

Exercice 2 : Étude graphique d'une fonction trinôme

Cet exercice de notre contrôle corrigé évalue la capacité à lier représentation graphique d'une parabole et propriétés algébriques d'un polynôme du second degré.

• Question 1 : Par lecture graphique, il faut déterminer le signe du coefficient dominant \(a\) (en observant la concavité de la parabole) et le signe du discriminant \(\Delta\) (en comptant le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses).
• Question 2 : La lecture des coordonnées du sommet (point A) permet de donner la forme canonique \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\). La lecture des racines (points B et C) permet de donner la forme factorisée \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\). La valeur de \(a\) peut être trouvée en utilisant les coordonnées d'un autre point de la courbe, comme l'ordonnée à l'origine.
• Question 3 : Discuter graphiquement du nombre de solutions de l'équation \(f(x) = k\). Cela correspond au nombre de points d'intersection entre la parabole et la droite horizontale d'équation \(y=k\). La réponse dépend de la position de \(k\) par rapport à l'ordonnée du sommet.

Exercice 3 : Démonstration d'une identité polynomiale

Ce dernier exercice, plus théorique, demande de démontrer une égalité classique : pour tout réel \(x \neq 1\), on a \(1 + x + x^2 + x^3 = \frac{1 - x^4}{1 - x}\). Cette formule est un cas particulier de la somme des termes d'une suite géométrique. La démonstration la plus directe consiste à partir du membre de droite et à développer le produit \((1-x)(1 + x + x^2 + x^3)\) pour montrer qu'il est bien égal à \(1-x^4\), justifiant ainsi l'égalité.