Ce sujet de maths est une évaluation sur les automatismes pour les élèves de Première spécialité. Conçu comme un QCM rapide de 30 minutes sans calculatrice, ce contrôle vise à vérifier la maîtrise des compétences fondamentales acquises au collège et en Seconde. Chaque question teste une notion clé, allant des calculs de base aux probabilités, en passant par l'algèbre et l'analyse de fonctions. C'est un excellent outil pour s'auto-évaluer et identifier les points à renforcer. Ce contrôle corrigé vous offre une analyse détaillée de chaque question pour une préparation optimale.

Question 1 : Maîtrise des opérations sur les fractions

L'énoncé demande de calculer la valeur de l'expression $A = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{8}{3}$ et de la présenter sous forme de fraction irréductible. Cet exercice évalue la connaissance de la priorité des opérations (la multiplication avant la soustraction) ainsi que les règles de calcul avec les fractions.

• Étape 1 : Effectuer la multiplication $\frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{1 \times 8}{4 \times 3} = \frac{8}{12}$. On peut simplifier cette fraction en $\frac{2}{3}$.
• Étape 2 : Effectuer la soustraction $A = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$.
• Étape 3 : Mettre les fractions au même dénominateur (12) : $A = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} - \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12}$.
• Étape 4 : Calculer le résultat final : $A = \frac{1}{12}$.

Question 2 : Factorisation via les identités remarquables

Il s'agit de trouver la forme factorisée de l'expression $9x^2 – 25$. Cette question teste la reconnaissance et l'application d'une identité remarquable fondamentale : la différence de deux carrés, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

• Analyse : On identifie que $9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$.
• Application : En posant $a = 3x$ et $b = 5$, on applique directement la formule pour obtenir $(3x - 5)(3x + 5)$.

Question 3 : Calcul avec les puissances de 10

La question demande de trouver l'écriture décimale du nombre $B = \frac{2 \times 10^5 \times 9 \times 10^{-2}}{3 \times 10^4}$. Cet exercice évalue la manipulation des puissances et de la notation scientifique.

• Méthode : On regroupe les nombres et les puissances de 10 : $B = \frac{2 \times 9}{3} \times \frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4}$.
• Calcul : $B = \frac{18}{3} \times 10^{5-2-4} = 6 \times 10^{-1}$.
• Conversion : L'écriture décimale de $6 \times 10^{-1}$ est $0,6$.

Question 4 : Application des pourcentages

Dans une classe de 30 élèves, 40% sont des garçons, et parmi eux, 25% portent des lunettes. On doit trouver le nombre de garçons à lunettes. Il s'agit d'un calcul de pourcentage d'une sous-population.

• Nombre de garçons : $30 \times \frac{40}{100} = 30 \times 0,4 = 12$ garçons.
• Nombre de garçons à lunettes : $12 \times \frac{25}{100} = 12 \times 0,25 = 3$.

Question 5 et 6 : Taux d'évolution et coefficients multiplicateurs

La question 5 traite d'évolutions successives : une baisse de 20% suivie d'une hausse de 20%. La question 6 demande le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 8%. Ces questions sont centrales dans le chapitre sur les pourcentages.

• Question 5 : Le coefficient multiplicateur pour une baisse de 20% est $1 - \frac{20}{100} = 0,8$. Celui pour une hausse de 20% est $1 + \frac{20}{100} = 1,2$. Le coefficient global est $0,8 \times 1,2 = 0,96$. Cela correspond à un taux d'évolution de $(0,96 - 1) \times 100 = -4\%$. Le prix a donc baissé de 4%.
• Question 6 : Augmenter de 8% revient à multiplier par $1 + \frac{8}{100} = 1,08$.

Question 7 : Coefficient directeur d'une droite

On donne les points $A(-1; 5)$ et $B(2; -4)$ et on demande le coefficient directeur de la droite $(AB)$. C'est une application directe de la formule du cours de géométrie analytique.

• Formule : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
• Application : $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$.

Question 8 : Résolution d'une équation produit-nul

L'équation à résoudre est $(2x - 4)(x + 3) = 0$. La résolution repose sur le principe qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

• Principe : On résout $2x - 4 = 0$ ou $x + 3 = 0$.
• Solutions : $2x = 4 \implies x=2$ et $x = -3$. L'ensemble des solutions est $\{-3, 2\}$.

Question 9 : Résolution d'une inéquation du premier degré

Il faut résoudre l'inéquation $-3x + 12 \ge 0$. C'est un automatisme de base en algèbre.

• Résolution : $-3x \ge -12$.
• Attention : On divise par un nombre négatif (-3), il faut donc changer le sens de l'inégalité : $x \le \frac{-12}{-3} \implies x \le 4$.

Question 10 : Calcul d'une moyenne pondérée

Un élève a un 12 (coefficient 2) et une note $x$ (coefficient 1). Sa moyenne est de 14. Il faut trouver $x$. Cela teste la formule de la moyenne pondérée.

• Équation : $\frac{12 \times 2 + x \times 1}{2 + 1} = 14$.
• Résolution : $\frac{24 + x}{3} = 14 \implies 24 + x = 42 \implies x = 18$.

Question 11 et 12 : Notions de probabilités

Ces deux dernières questions abordent les probabilités élémentaires.

• Question 11 : On lance un dé à 6 faces. Probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4. Les issues favorables sont {5, 6}. L'univers a 6 issues. La probabilité est donc $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Question 12 : Dans un club, il y a 50 femmes, dont 20 font du tennis. On choisit une femme au hasard. La probabilité qu'elle pratique le tennis est une probabilité conditionnelle simple. L'univers est réduit aux 50 femmes. La probabilité est $\frac{20}{50} = 0,4$.