Analyse et Corrigé du Contrôle de Maths (Première Spécialité)

Ce sujet de mathématiques de niveau Première spécialité, d'une durée d'1h30 et sans calculatrice, porte sur deux chapitres clés du programme : les probabilités conditionnelles et les polynômes du second degré. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour les élèves, permettant de valider la maîtrise des concepts et des méthodes de résolution. Chaque exercice est analysé en détail pour une compréhension optimale.

Exercice 1 : QCM sur les Probabilités et les Polynômes

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui évalue des compétences fondamentales. Chaque question demande une justification détaillée.

• Question 1 : Indépendance et Arbre Pondéré
  La question teste la compréhension de l'indépendance de deux événements via un arbre pondéré. Pour que deux événements A et B soient indépendants, on doit avoir \(P_A(B) = P_{\bar{A}}(B)\). L'arbre montre \(P_A(B) = 0.6\) et \(P_{\bar{A}}(B) = 0.7\). Comme ces probabilités sont différentes, les événements ne sont pas indépendants.
• Question 2 : Calcul et Vérification de l'Indépendance
  Cette question propose un cas concret pour vérifier si deux événements, D « être droitier » et M « être myope », sont indépendants. Avec les données \(P(D) = 0.8\) et \(P_M(\bar{D}) = \frac{1}{5}\), on calcule \(P_M(D) = 1 - \frac{1}{5} = 0.8\). L'indépendance est vérifiée car \(P_M(D) = P(D)\).
• Question 3 : Tableau de Signes et Forme d'un Polynôme
  Il s'agit ici de lier un tableau de signes à l'expression d'un polynôme du second degré. Le tableau indique que la fonction \(f(x)\) est toujours négative ou nulle, avec une racine double en \(x = \frac{1}{2}\). Cela correspond à une parabole tournée vers le bas (\(a < 0\)) dont le sommet est sur l'axe des abscisses. La forme canonique est donc \(f(x) = a(x - \frac{1}{2})^2\). La bonne réponse était \(f(x) = -4(x - \frac{1}{2})^2\).

Exercice 2 : Résolution d'Équations et Inéquations du Second Degré

Cet exercice se concentre sur les techniques algébriques de base pour les polynômes du second degré.

• Question 1 : Équation du Second Degré
  Pour résoudre l'équation \(3x^2 + 5x + 9 = 0\), on calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\). On trouve \(\Delta = 5^2 - 4(3)(9) = 25 - 108 = -83\). Comme \(\Delta < 0\), l'équation n'a pas de solution réelle.
• Question 2 : Inéquation du Second Degré
  Pour résoudre \(-2x^2 - 6x + 8 < 0\), on cherche d'abord les racines du polynôme en résolvant \(-2x^2 - 6x + 8 = 0\). On trouve les racines \(x_1 = -4\) et \(x_2 = 1\). Le coefficient dominant \(a = -2\) est négatif, donc le polynôme est négatif à l'extérieur des racines. L'ensemble des solutions est \(]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[\).

Exercice 3 : Problème de Géométrie et Second Degré

Cet exercice de modélisation applique les outils du second degré à un problème géométrique.

• Objectif : Déterminer la position d'un point M sur le côté [DC] d'un rectangle ABCD pour que le triangle AMB soit rectangle en M.
• Démarche :
  1. On utilise le théorème de Pythagore : le triangle AMB est rectangle en M si et seulement si \(AM^2 + BM^2 = AB^2\).
  2. On exprime \(AM^2\) et \(BM^2\) en fonction de \(x = DM\). Grâce à Pythagore dans les triangles ADM et BCM, on obtient \(AM^2 = 4 + x^2\) et \(BM^2 = 4 + (6-x)^2\).
  3. L'équation devient \((4+x^2) + (4 + (6-x)^2) = 6^2\), ce qui se simplifie en \(2x^2 - 12x + 8 = 0\).
  4. La résolution de cette équation du second degré donne les deux positions possibles pour le point M.

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles avec un Arbre Pondéré

Ce dernier exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles, parfait pour appliquer la méthode de l'arbre pondéré.

• Analyse de l'énoncé : On définit les événements A « s'abonner à l'édition papier » et B « s'abonner à l'édition électronique ». L'énoncé fournit \(P(A) = 0.2\), \(P_A(B) = 0.4\) et \(P_{\bar{A}}(B) = 0.1\).
• Construction et utilisation de l'arbre :
  - On construit un arbre pondéré avec ces données.
  - On calcule la probabilité de l'intersection : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0.08\).
  - On applique la formule des probabilités totales pour trouver \(P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0.16\).
  - On termine par un calcul de probabilité conditionnelle 'inversée', \(P_B(A)\), en utilisant la formule \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.08}{0.16} = 0.5\).