Obtenez une analyse détaillée et un corrigé de ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale Spécialité. Ce sujet complet d'une heure est l'outil idéal pour réviser et maîtriser deux chapitres fondamentaux du programme : l'étude de fonctions avec les limites et les asymptotes, et la géométrie vectorielle dans l'espace. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution, les pièges à éviter et les compétences clés à mobiliser. Ce document est parfait pour les élèves visant l'excellence au baccalauréat.

Exercice 1 : Étude Complète d'une Fonction Rationnelle

Cet exercice se concentre sur l'analyse approfondie de la fonction rationnelle \(f\) définie par \(f(x) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x - 2}\) sur l'ensemble \(D_f = ]-\infty; 2[ \cup ]2; +\infty[\). L'objectif est de mobiliser vos connaissances sur les limites, la dérivation et l'interprétation graphique des résultats.

• 1. Calcul des limites aux bornes : Il s'agit de déterminer le comportement de la fonction à l'infini et autour de sa valeur interdite.
  • En \(+\infty\) et \(-\infty\), on fait face à une forme indéterminée de type "\(\frac{\infty}{\infty}\)". La méthode consiste à factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur pour lever l'indétermination et trouver que \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\).
  • En \(x=2\), on étudie la limite à gauche (\(x \to 2^-\)) et à droite (\(x \to 2^+\)). Le numérateur tend vers 11 tandis que le dénominateur tend vers \(0^-\) ou \(0^+\), menant à des limites infinies.
• 2. Interprétation graphique et asymptotes : Les limites calculées permettent de déduire l'existence d'asymptotes. La limite infinie en \(x=2\) confirme la présence d'une asymptote verticale d'équation \(x=2\).
• 3. Calcul de la dérivée : Pour étudier les variations de \(f\), il faut calculer sa dérivée \(f'(x)\). En utilisant la formule de dérivation d'un quotient \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), on démontre que \(f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 7}{(x - 2)^2}\).
• 4. Tableau de variation : L'étude du signe de la dérivée, qui dépend uniquement du signe du polynôme du second degré \(x^2 - 4x - 7\), permet de dresser le tableau de variation complet de \(f\), révélant ses extrema locaux.
• 5. Questions d'approfondissement :
  • La recherche d'une tangente parallèle à la droite d'équation \(y = -10x + 20\) se traduit par la résolution de l'équation \(f'(x) = -10\).
  • La question sur l'asymptote oblique est un classique. Après avoir conjecturé graphiquement son équation \(y = x+5\), la démonstration rigoureuse passe par le calcul de la limite \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x+5)]\), qui doit être égale à zéro.
  • La démonstration d'un centre de symétrie \(\Omega(a, b)\) se fait en vérifiant l'égalité \(f(a - x) + f(a + x) = 2b\), où \(a=2\) et \(b=7\) sont les coordonnées du point d'intersection des asymptotes.

Exercice 2 : Géométrie Vectorielle dans l'Espace

Ce second exercice vous plonge dans la géométrie dans l'espace à travers l'étude d'un tétraèdre \(ABCD\). L'originalité réside dans le choix d'un repère non orthonormé \((B; \vec{BC}, \vec{BD}, \vec{BA})\), ce qui demande une bonne maîtrise des définitions vectorielles et des calculs de coordonnées.

• 1. Lecture de coordonnées : La première étape consiste à traduire les positions des points \(A, B, C, D\) et des milieux \(I, J\) en coordonnées dans le repère imposé. Par exemple, \(B(0,0,0)\), \(C(1,0,0)\), \(A(0,0,1)\), et \(I\) milieu de \([AB]\) aura pour coordonnées \(I(0,0,1/2)\).
• 2. Construction de points et vecteurs : En utilisant les propriétés des parallélogrammes (\(IACE\) et \(IBDF\)), on établit des égalités vectorielles grâce à la relation de Chasles. Par exemple, pour le parallélogramme \(IACE\), on a \(\vec{IE} = \vec{IA} + \vec{IC}\). Ces relations permettent de trouver les coordonnées des points \(E\) et \(F\).
• 3. Colinéarité et alignement : On demande de prouver que le point \(J\) est le milieu du segment \([FE]\). La méthode consiste à calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{EJ}\) et \(\vec{EF}\) et à montrer qu'ils sont colinéaires, par exemple en vérifiant que \(\vec{EF} = 2\vec{EJ}\).
• 4. Représentation paramétrique d'une droite : Cette question évalue la capacité à établir l'équation paramétrique d'une droite, ici \((EF)\), à partir d'un point (\(E\)) et d'un vecteur directeur (\(\vec{EF}\)). On teste ensuite si un point donné \(H\) appartient à cette droite en vérifiant s'il existe une valeur du paramètre \(t\) qui satisfait le système d'équations.
• 5. Position relative de deux droites : L'étude de la position relative des droites \((EF)\) et \((ID)\) nécessite de comparer leurs vecteurs directeurs pour déterminer si elles sont parallèles ou sécantes. Si elles ne sont pas parallèles, on résout le système formé par leurs représentations paramétriques pour trouver un éventuel point d'intersection.