Contrôle Corrigé de Mathématiques sur le Produit Scalaire - Niveau Première

Ce sujet d'évaluation de 1ère en spécialité mathématiques porte sur le chapitre du produit scalaire. D'une durée d'une heure, il est composé de 5 exercices variés qui permettent de balayer l'ensemble des compétences clés de ce chapitre fondamental de la géométrie.

Ce contrôle corrigé est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser avant une évaluation. Il aborde le calcul du produit scalaire sous toutes ses formes, ses applications pour déterminer des angles ou des longueurs (théorème d'Al Kashi), ainsi que des rappels de géométrie vectorielle. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Produit Scalaire Première, Exercices corrigés.

Exercice 1 : Calculs de produits scalaires (7 points)

Cet exercice est un QCM de six situations différentes où il faut calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. Il teste la maîtrise des différentes méthodes de calcul :

• Cas (a) : Dans un carré, en utilisant la projection orthogonale. Le projeté du point C sur la droite (AB) est le point B, ce qui simplifie le calcul.
• Cas (b) : Avec des points alignés, où le produit scalaire se ramène à un produit de longueurs algébriques.
• Cas (c) et (d) : Dans des triangles où un angle et les longueurs des côtés adjacents sont connus. On applique directement la formule $ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\widehat{(\vec{u}, \vec{v})}) $.
• Cas (e) : Dans un repère orthonormé, en utilisant la formule analytique. Si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• Cas (f) : Un cas plus complexe demandant une analyse géométrique plus poussée.

Exercice 2 : Détermination d'un angle (4 points)

L'objectif de cet exercice classique est de trouver une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ à partir des coordonnées des points A, B et C. La méthode consiste à :

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ avec la formule analytique.
3. Exprimer le même produit scalaire avec la formule géométrique faisant intervenir $\cos(\widehat{BAC})$.
4. Égaliser les deux expressions pour isoler et calculer $\cos(\widehat{BAC})$, puis en déduire la valeur de l'angle.

Exercice 3 : Théorème d'Al Kashi (2,5 points)

Cet exercice est une application directe du théorème d'Al Kashi (ou loi des cosinus), qui est une généralisation du théorème de Pythagore dans un triangle quelconque. Connaissant deux longueurs et l'angle qu'elles forment, on peut déterminer la longueur du troisième côté. La formule utilisée est : $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$.

Exercice 4 : Produit scalaire et relation de Chasles (3,5 points)

Ici, on doit calculer un produit scalaire en utilisant la relation de Chasles et les propriétés d'orthogonalité. En décomposant les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ à l'aide du point H, pied de la hauteur issue de A, on fait apparaître des produits scalaires de vecteurs orthogonaux (qui sont nuls), ce qui simplifie grandement le calcul.

Le calcul se décompose comme suit : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (\vec{AH} + \vec{HB}) \cdot (\vec{AH} + \vec{HC}) = \|\vec{AH}\|^2 + \vec{HB} \cdot \vec{HC}$.

Exercice 5 : Géométrie vectorielle pure (4 points)

Ce dernier exercice ne fait pas appel au produit scalaire mais aux outils de la géométrie vectorielle, souvent étudiés en prérequis. L'objectif est de démontrer l'alignement de trois points G, D et H.

• Il faut manipuler des égalités vectorielles en utilisant la relation de Chasles.
• Exprimer les vecteurs $\vec{GD}$ et $\vec{GH}$ dans la base de vecteurs $(\vec{AB}, \vec{AC})$.
• Montrer que ces deux vecteurs sont colinéaires (c'est-à-dire que l'un est un multiple de l'autre, $\vec{GH} = k \vec{GD}$).
• Conclure que les points G, D et H sont alignés.