Contrôle Corrigé sur les Suites et la Récurrence - Terminale Spécialité

Ce document propose un sujet de contrôle complet pour les élèves de Terminale en spécialité mathématiques, accompagné d'une analyse détaillée des compétences requises. Les thèmes abordés sont centraux dans le programme : les limites de suites numériques et le raisonnement par récurrence. Ce sujet type bac est un excellent outil de révision pour s'entraîner et valider sa compréhension des concepts clés avant une évaluation ou pour préparer le baccalauréat.

Le contrôle est structuré en trois exercices progressifs, couvrant un large spectre de savoir-faire : des questions à choix multiples pour tester les connaissances fondamentales, des calculs de limites variés, et un problème d'étude de suite complet. Un bonus est également proposé pour les élèves les plus avancés.

Exercice 1 : QCM sur les Limites et Propriétés des Suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) conçu pour évaluer rapidement la maîtrise des définitions et des théorèmes de base sur les suites. Chaque question explore un cas de figure différent.

• Question 1 : Étude de la suite \(u_n = 5 \times (-1)^n\). Il s'agit de reconnaître une suite qui n'admet pas de limite, car elle oscille indéfiniment entre -5 et 5.
• Question 2 : Limite de la suite polynomiale \(v_n = n - 5n^2\). La limite est dictée par le terme de plus haut degré, ici \(-5n^2\), qui tend vers \(-\infty\).
• Question 3 : Limite de \(w_n = n - 5\sin(n)\). Cette question fait appel au théorème de comparaison. En encadrant \(\sin(n)\) entre -1 et 1, on obtient \(n-5 \leq w_n \leq n+5\), ce qui permet de conclure que la suite tend vers \(+\infty\).
• Question 4 : Analyse de la propriété \(P(n) : n^3 > 3n\). Il faut tester les premiers rangs pour déterminer la validité de l'initialisation dans un potentiel raisonnement par récurrence.
• Question 5 : Étude de la suite homographique \(u_n = \frac{3n+2}{n+1}\). Il faut déterminer son sens de variation (croissante) et reconnaître qu'elle est majorée par sa limite, qui est 3.
• Question 6 : Suite \(a_n\) définie par un encadrement. C'est une application directe du théorème des gendarmes. Les deux suites encadrantes tendant vers 0, la suite \(a_n\) converge également vers 0.
• Question 7 : Limite d'une suite géométrique de raison \(r = \frac{1}{4}\). Comme \(|r| < 1\), la suite converge vers 0.
• Question 8 : Limite de \(c_n = 5^n - 7^n\). C'est une forme indéterminée de type \("+\infty - \infty"\). La méthode consiste à factoriser par le terme dominant (\(7^n\)) pour lever l'indétermination et trouver la limite \(-\infty\).

Exercice 2 : Calculs de Limites avec Diverses Techniques

Cet exercice se concentre sur l'application de différentes méthodes pour déterminer la limite de suites. Il est essentiel de savoir identifier la forme de la suite pour choisir la bonne stratégie.

• 1. Limite de \(u_n = \frac{5n^2 - 3n}{n^2 + 1}\) : C'est une suite rationnelle. On lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, ou en utilisant la règle sur le quotient des termes de plus haut degré. La limite est 5.
• 2. Limite de \(v_n = \frac{(-1)^n + 8}{\sqrt{n}}\) : La présence de \((-1)^n\) suggère l'utilisation du théorème des gendarmes. En encadrant \((-1)^n\) entre -1 et 1, on montre que la suite est encadrée par deux suites qui tendent vers 0.
• 3. Limite de \(w_n = e^n + n^2 + 1\) : C'est une limite par somme. Tous les termes tendent vers \(+\infty\), donc la limite de la somme est \(+\infty\).
• 4. Limite de \(t_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n+4}\) : Forme indéterminée \("+\infty - \infty"\). La technique à employer est celle de la quantité conjuguée, qui permet de transformer l'expression et de lever l'indétermination pour trouver une limite de 0.

Exercice 3 : Problème Complet sur une Suite Arithmético-Géométrique

Ce problème est un classique du chapitre. Il guide l'élève à travers l'étude complète d'une suite définie par une relation de récurrence \(u_{n+1} = 3u_n - 2n + 3\).

• 1. Calcul des premiers termes : Une étape initiale pour se familiariser avec la suite.
• 2. Raisonnement par récurrence : Il s'agit de démontrer une inégalité (\(u_n \geq n\)) pour tout \(n\). C'est une application directe et fondamentale de la méthode de démonstration par récurrence (initialisation, hérédité, conclusion).
• 3. Sens de variation : En utilisant l'inégalité démontrée précédemment, on étudie le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\) pour prouver que la suite est croissante.
• 4. Détermination de la limite : L'inégalité \(u_n \geq n\) et le théorème de comparaison permettent de conclure que la suite diverge vers \(+\infty\).
• 5. Algorithmique : Rédaction d'un algorithme en Python qui détermine le rang à partir duquel la suite dépasse un seuil donné, mobilisant l'utilisation d'une boucle "while".
• 6. Étude via une suite auxiliaire : C'est la méthode classique pour les suites arithmético-géométriques.
  • a. On montre que la suite auxiliaire \(v_n = u_n - n + 1\) est une suite géométrique.
  • b. On en déduit l'expression explicite de \(v_n\), puis celle de \(u_n = 3^n + n - 1\).
  • c. On calcule la somme des termes \(S_n = \sum_{k=0}^n u_k\) en utilisant les formules de la somme des termes d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique.

Bonus : Limite d'une Somme Partielle

Le bonus propose un défi supplémentaire sur la détermination de la limite d'une somme. Il s'agit d'un exercice plus technique qui demande de l'ingéniosité dans la manipulation des sommes pour trouver la nature de la série associée.