Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques pour la Terminale spécialité, portant sur les chapitres fondamentaux des suites numériques et du raisonnement par récurrence. Ce devoir d'une heure, avec usage de la calculatrice autorisé, est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts clés de l'analyse de suites, incluant le calcul de limites, la démonstration par récurrence, et l'étude complète du comportement d'une suite. C'est un excellent support pour réviser et se préparer efficacement au baccalauréat. Ce document propose un corrigé détaillé qui vous permettra de comprendre les méthodes de résolution et de consolider vos acquis.

Ce sujet de maths est un outil pédagogique complet, parfait pour les élèves souhaitant s'entraîner sur des exercices types et approfondir leur compréhension des suites récurrentes et de leurs limites.

Analyse de l'Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Limites et Variations

Cet exercice introductif teste la compréhension fine des définitions et des théorèmes fondamentaux sur les limites de suites. Chaque affirmation doit être justifiée rigoureusement.

• Affirmation 1 : On teste la définition d'une suite tendant vers \(-\infty\). Si une suite \(u_n\) est telle que \(u_n < -15\,000\,000\) pour \(n \ge 35\), cela implique-t-il que \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\) ? Il faut ici faire attention à ne pas confondre "être borné" et "tendre vers une limite". Un contre-exemple simple permet de conclure.
• Affirmation 2 : Cette question aborde une forme indéterminée classique. Si \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) et \(\lim_{n \to +\infty} v_n = 0\) (avec \(v_n > 0\)), peut-on affirmer que \(\lim_{n \to +\infty} u_n v_n = +\infty\) ? C'est le cas typique de la forme indéterminée `\(\infty \times 0\)` où le résultat dépend de la "vitesse" de convergence et de divergence des deux suites.
• Affirmation 3 : Il s'agit d'étudier le sens de variation de la suite \(p_n\) définie par \(p_n = n^2 - 42n + 4\). Pour ce faire, on peut soit étudier le signe de la différence \(p_{n+1} - p_n\), soit passer par l'étude de la fonction associée \(f(x) = x^2 - 42x + 4\), une parabole dont on connaît les variations.
• Affirmation 4 : Cette question porte sur la notion de suite majorée. La suite \(w_n\) est une suite arithmétique définie par \(w_n = -3n + 4\). On demande de vérifier si elle est majorée par 4. L'étude de son sens de variation est la clé pour répondre à cette question.

Analyse de l'Exercice 2 : Récurrence et Calculs de Limites

Cet exercice se divise en deux parties indépendantes, balayant deux compétences essentielles : la démonstration par récurrence et le calcul technique de limites.

1. Démonstration par récurrence : On considère la suite arithmético-géométrique \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 2\). L'objectif est de démontrer par récurrence que son expression explicite est \(u_n = 1 - 3^n\) pour tout entier naturel \(n\). C'est une application directe et classique du principe de récurrence en trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion.
2. Calculs de limites : Cette partie évalue la capacité à calculer la limite de différentes suites :
   • a) \(u_n = \frac{3 - \frac{1}{n^2}}{n+1}\) : Limite d'un quotient où le numérateur converge et le dénominateur diverge.
   • b) \(v_n = 3n^2 - 8n + 1\) : Limite d'une suite polynomiale, déterminée par son terme de plus haut degré.
   • c) \(t_n = \left(n^2 - \frac{3}{n^2}\right)(6 - n)\) : Limite d'un produit qui mène à lever une indétermination en analysant le comportement de chaque facteur.

Analyse de l'Exercice 3 : Étude complète d'une suite récurrente

Cet exercice est un problème complet d'analyse, guidant l'élève à travers l'étude d'une suite récurrente de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\). La suite est définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{3 - u_n}{8 - 5u_n}\).

1. Conjecture à la calculatrice : La première étape consiste à utiliser la calculatrice pour calculer les premiers termes (\(u_1, u_2, u_3\)) et à formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \((u_n)\).
2. Étude de la fonction associée : On introduit la fonction \(f\) telle que \(u_{n+1} = f(u_n)\), avec \(f(x) = \frac{3 - x}{8 - 5x}\). Il est demandé de calculer sa dérivée \(f'(x)\) et d'en déduire son tableau de variations. Cette étape est cruciale pour justifier plus tard le comportement de la suite. Cela requiert la maîtrise de la dérivation d'un quotient.
3. Démonstration par récurrence et convergence : Le cœur de l'exercice. Il faut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a l'encadrement \(0 \le u_{n+1} \le u_n \le 1\). Cette preuve complexe établit que la suite est décroissante et minorée. La dernière question invite à utiliser le théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone) pour conclure sur la convergence de la suite \((u_n)\).