Analyse du sujet de Bac Blanc de Mathématiques - Terminale Spécialité

Ce sujet de Bac Blanc pour la spécialité Mathématiques en classe de Terminale est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. D'une durée de 4 heures, il balaye une grande partie du programme à travers quatre exercices complets et variés : probabilités, géométrie dans l'espace, analyse de fonction et étude de suites. Ce contrôle corrigé est idéal pour réviser et valider ses connaissances.

Exercice 1 : Probabilités conditionnelles, variable aléatoire et loi binomiale

Cet exercice de probabilités se décompose en trois parties. Il s'agit d'un jeu en deux étapes : un tirage simultané de boules dans une urne, puis un lancer de dé.

• La première question aborde les bases des probabilités conditionnelles. Il faut d'abord calculer la probabilité d'un événement, ici le tirage de la boule noire, en utilisant le dénombrement (combinaisons). Ensuite, il est demandé de modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré. En appliquant la formule des probabilités totales, on calcule la probabilité de gagner. L'exercice se termine par le calcul d'une probabilité conditionnelle, `P(N | \bar{G})`, en utilisant la définition ou la formule de Bayes.
• La deuxième partie introduit une variable aléatoire `X` représentant le gain algébrique du joueur, qui dépend d'une mise `m`. Il faut déterminer la loi de probabilité de `X`, puis calculer son espérance mathématique `E(X)`. La question finale consiste à trouver la valeur de `m` pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire quand `E(X) = 0`.
• La dernière question traite d'un schéma de Bernoulli. Le jeu est répété `n` fois de manière indépendante. On utilise la loi binomiale pour déterminer le nombre minimal de parties `n` afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à un seuil donné (0,999), en passant par l'événement contraire.

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

Cet exercice se déroule dans le cadre classique d'un cube `ABCDEFGH` et d'un repère orthonormé. Il évalue les compétences en géométrie vectorielle et analytique dans l'espace.

• Les premières questions sont directes : donner les coordonnées de points définis par des relations vectorielles, puis démontrer qu'un vecteur (`\vec{AG}`) est normal à un plan (`(IJK)`). Cette démonstration se fait en calculant le produit scalaire du vecteur avec deux vecteurs non colinéaires du plan (par exemple `\vec{IJ}` et `\vec{IK}`).
• À partir du vecteur normal et des coordonnées d'un point du plan, il faut ensuite déterminer une équation cartésienne du plan `(IJK)`, qui se révèle être `4x + 4y + 4z - 5 = 0`.
• La suite de l'exercice consiste à trouver une représentation paramétrique d'une droite `(BC)` puis à calculer les coordonnées du point d'intersection `L` entre cette droite et le plan `(IJK)`.
• La dernière question porte sur la coplanarité de quatre points `I, J, L, M`, un test classique de l'algèbre vectorielle dans l'espace.

Exercice 3 : Analyse de fonction avec logarithme et tangentes

Cet exercice d'analyse est divisé en deux parties interdépendantes, centrées sur la fonction logarithme népérien.

• La Partie I propose une étude complète de la fonction `h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x}`. Elle couvre le calcul de limites aux bornes de l'ensemble de définition (`0^+` et `+\infty`), en utilisant notamment les théorèmes de croissance comparée. Le calcul de la dérivée `h'(x) = \frac{1-\ln(x)}{x^2}` permet ensuite de dresser le tableau de variations complet de `h`.
• Une question clé de cette partie est l'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer que l'équation `h(x)=0` admet une solution unique `\alpha`, et pour en donner un encadrement.
• La Partie II établit un lien entre l'étude précédente et un problème géométrique. On s'intéresse aux tangentes `T_a` et `D_a` aux courbes des fonctions `f(x) = x\ln(x) - x` et `g(x) = \ln(x)`. Il faut calculer les coefficients directeurs de ces tangentes, qui correspondent aux nombres dérivés `f'(a)` et `g'(a)`. La condition de perpendicularité de deux droites (`m \cdot m' = -1`) conduit alors à une équation qui n'est autre que `h(a)=0`, montrant ainsi l'unicité de la valeur de `a` recherchée.

Exercice 4 : Étude d'une suite numérique

Le dernier exercice porte sur l'étude d'une suite `(u_n)` définie par une relation de récurrence `u_{n+1} = f(u_n)` où `f(x) = \frac{1}{5}x^2`.

• Après un calcul des premiers termes et la complétion d'un algorithme Python, l'exercice guide vers l'étude de la convergence de la suite.
• Une étape cruciale est le raisonnement par récurrence pour démontrer que la suite est bornée (ici, `0 < u_n \le 4`).
• On démontre ensuite que la suite est décroissante, puis on en déduit sa convergence grâce au théorème de la limite monotone. La valeur de la limite est trouvée en résolvant l'équation `l = f(l)`.
• Pour obtenir l'expression explicite de `(u_n)`, on introduit une suite auxiliaire `v_n = \ln(u_n) - \ln(5)`. On démontre que `(v_n)` est une suite géométrique, on détermine sa raison et son premier terme. Cela permet de trouver l'expression de `v_n` en fonction de `n`, puis d'en déduire celle de `u_n`. Ce lien entre suites et fonction logarithme est un grand classique du programme.
• Finalement, l'expression explicite de `u_n` permet de retrouver par le calcul la limite de la suite, confirmant le résultat précédent.