Découvrez un sujet de contrôle complet pour la classe de Terminale spécialité mathématiques, axé sur le chapitre de la géométrie dans l'espace. Cette évaluation, d'une durée de 2 heures, est idéale pour s'entraîner et maîtriser les notions de représentations paramétriques de droites et d'équations cartésiennes de plans. Ce contrôle corrigé est structuré en trois exercices progressifs qui balayent l'ensemble des compétences attendues sur ce thème. Vous y trouverez des applications concrètes du produit scalaire, des calculs de distances, d'angles, d'aires et de volumes, ainsi que des problèmes de projection orthogonale et d'intersections.
Exercice 1 : Droites et Plans dans l'espace
Cet exercice se concentre sur les manipulations fondamentales des droites et des plans. À partir des points \(A(0; 1; 1)\) et \(B(-2; 2; -1)\) et d'une droite \(D\) définie paramétriquement, il s'agit de :
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
- Étudier la position relative des droites \((AB)\) et \(D\), en montrant qu'elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
- Vérifier qu'un plan \(P\) d'équation \(x + y - z - 3u = 0\) est orthogonal à la droite \(D\) et passe par un point \(M\) de cette droite.
- Calculer les coordonnées du point d'intersection \(N\) entre le plan \(P\) et la droite \((AB)\).
- Analyser l'orthogonalité : montrer que la droite \((MN)\) est perpendiculaire à \(D\), puis chercher une condition pour qu'elle soit aussi perpendiculaire à \((AB)\).
- Résoudre un problème d'optimisation en exprimant la distance \(MN^2\) en fonction du paramètre \(u\) afin de trouver la valeur qui la minimise. Cela correspond à trouver la plus courte distance entre les deux droites.
Exercice 2 : Propriétés géométriques et Calculs de volumes
Le deuxième exercice explore les propriétés des figures de l'espace et les calculs métriques associés. On travaille avec les points \(A(2; -1; 0)\), \(B(1; 0; -3)\), \(C(6; 6; 1)\), \(E(1; 2; 4)\) et un plan \(P\) d'équation \(2x - y - z + 4 = 0\).
- Démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le produit scalaire. Ici, il faut montrer que \(\vec{BA} \cdot \vec{AC} = 0\) pour le triangle \(ABC\).
- Calculer un angle dans un triangle (\(\widehat{ABC}\)) en utilisant la formule du produit scalaire : \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = ||\vec{BA}|| \times ||\vec{BC}|| \times \cos(\widehat{ABC})\).
- Démontrer que le plan \(P\) est parallèle au plan \((ABC)\) en comparant leurs vecteurs normaux.
- En déduire l'équation cartésienne du plan \((ABC)\).
- Déterminer la représentation paramétrique d'une droite \(\Delta\) orthogonale au plan \((ABC)\) et passant par un point donné \(E\).
- Calculer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) du point \(E\) sur le plan \((ABC)\), ce qui revient à trouver l'intersection de la droite \(\Delta\) et du plan.
- Appliquer ces résultats au calcul de l'aire du triangle \(ABC\) et au volume de la pyramide \(ABCE\), en utilisant la hauteur \(EH\).
Exercice 3 : Vecteur normal, Projection et Tétraèdre
Ce dernier exercice est une synthèse complète sur les plans, les droites et les calculs de volumes dans un tétraèdre. On considère les points \(A(0; 3; -1)\), \(B(4; 1; 2)\), \(C(3; -1; 7)\) et \(D(0; 6; 6)\).
- Vérifier que trois points ne sont pas alignés pour définir un plan.
- Démontrer qu'un triangle est rectangle en un point (\(C\)) et calculer son aire.
- Montrer qu'un vecteur donné \(\vec{n}(1; -1; 2)\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\) et en déduire son équation cartésienne.
- Vérifier si un point \(D\) appartient au plan \((ABC)\).
- Établir la représentation paramétrique de la droite \(d\) orthogonale au plan \((ABC)\) passant par \(D\).
- Déterminer les coordonnées du point d'intersection \(H\), qui est le projeté orthogonal de \(D\) sur le plan.
- Calculer la distance d'un point à un plan (la distance \(DH\)).
- En déduire le volume du tétraèdre \(ABCD\).
- Terminer par un calcul d'angle (\(\widehat{ADB}\)) en utilisant à nouveau le produit scalaire.