Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première (Spécialité Maths) porte sur le chapitre de la fonction logarithme. Il constitue une évaluation complète, balayant les concepts clés à travers trois exercices variés : une étude de fonction approfondie avec fonction auxiliaire, l'analyse d'une suite récurrente couplée à un algorithme, et un calcul de dérivée technique. Ce corrigé détaillé est idéal pour s'entraîner et maîtriser les compétences essentielles sur le logarithme népérien.

Exercice 1 : Étude de fonction avec logarithme et asymptote

Cet exercice est un classique d'analyse de fonction, structuré en deux parties interdépendantes, un format fréquent au baccalauréat.

• Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
  On étudie d'abord la fonction \( g(x) = 2x^3 - 1 + 2\ln(x) \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \). L'objectif est de déterminer son signe. Pour cela, il faut :
  1. Calculer sa dérivée \( g'(x) \) et dresser le tableau de variation complet de \( g \), en incluant les calculs de limites aux bornes.
  2. Appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer qu'il existe une unique solution \( \alpha \) à l'équation \( g(x) = 0 \).
  3. Déduire le signe de \( g(x) \) sur son domaine de définition, une information cruciale pour la suite.
• Partie B : Étude de la fonction principale
  On s'intéresse ensuite à la fonction \( f(x) = 2x - \frac{\ln(x)}{x^2} \).
  1. Le calcul des limites en \( 0 \) et en \( +\infty \) est demandé, faisant appel aux limites de référence de la fonction logarithme et aux croissances comparées.
  2. L'exercice guide vers l'étude d'une asymptote oblique à la courbe \( \mathcal{C}_f \), la droite \( \Delta \) d'équation \( y = 2x \). Il faut calculer la limite de \( f(x) - 2x \) en \( +\infty \) et interpréter graphiquement le résultat.
  3. L'étude de la position relative de \( \mathcal{C}_f \) et \( \Delta \) est réalisée en étudiant le signe de \( f(x) - 2x \).
  4. Le lien entre les deux parties est établi en montrant que la dérivée \( f'(x) \) a le même signe que la fonction auxiliaire \( g(x) \). Le tableau de variation de \( f \) peut alors être dressé.

Exercice 2 : Logarithme, suite récurrente et algorithmique

Cet exercice combine l'étude d'une fonction, l'analyse d'une suite définie par récurrence et une question d'algorithmique en Python.

• Partie A : Étude de fonction et recherche de solution
  On analyse la fonction \( f(x) = 4\ln(x+1) - \frac{x^2}{25} \).
  1. Après avoir étudié ses variations (dérivée, signe, tableau), on s'intéresse à la fonction \( h(x) = f(x) - x \).
  2. En utilisant le TVI sur un intervalle précis, on montre que l'équation \( h(x)=0 \) (soit \( f(x)=x \)) admet une unique solution.
  3. Une partie algorithmique demande de comprendre un script Python qui permet de trouver un encadrement de cette solution par balayage.
• Partie B : Étude d'une suite récurrente
  On étudie la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \).
  1. Une démonstration par récurrence est requise pour prouver que la suite est croissante et majorée, en s'appuyant sur les variations de la fonction \( f \) étudiée précédemment.
  2. Le théorème de la convergence monotone permet de conclure que la suite \( (u_n) \) converge vers une limite \( \ell \).
  3. La dernière question consiste à justifier que cette limite \( \ell \) est la solution de l'équation \( f(x)=x \) trouvée dans la partie A.

Exercice 3 : Calcul de dérivée complexe

Cet exercice est un pur entraînement au calcul de dérivées. Il faut dériver la fonction \( f(x) = \ln[(x^2 + 1)e^{-3x+1} + 2] \). La résolution exige de maîtriser parfaitement les formules de dérivation, notamment :

• La dérivée d'une fonction composée de type \( \ln(u) \).
• La dérivée d'un produit de fonctions \( (uv)' \).
• La dérivée d'une fonction composée de type \( e^v \).