Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce sujet de mathématiques pour la classe de Seconde, axé sur le chapitre des généralités sur les fonctions. Cette évaluation d'une heure est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts clés : lecture graphique, tableaux de variation, et modélisation par une fonction via l'algorithmique. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et les compétences attendues.

Exercice 1 : Étude d'une fonction polynôme du second degré

Cet exercice introductif porte sur la fonction polynôme du second degré \( f \) définie sur l'intervalle \( [-3; 3] \) par l'expression \( f(x) = x^2 + x - 2 \). La première question vous guide dans l'utilisation du mode graphique de la calculatrice pour visualiser la courbe représentative de la fonction, \( \mathcal{C}_f \). Il s'agit d'une compétence technique essentielle pour appréhender le comportement d'une fonction. La seconde question demande de formuler une hypothèse sur le sens de variation de \( f \). En observant la parabole affichée, on peut conjecturer qu'elle est d'abord décroissante puis croissante, avec un sommet correspondant au minimum de la fonction. C'est une première approche intuitive du tableau de variation d'un trinôme.

Exercice 2 : Résolution graphique d'équations et d'inéquations

Le deuxième exercice est un classique de l'analyse de fonctions. Il présente les courbes représentatives de trois fonctions \( f, g \) et \( h \) sur l'intervalle \( [-2; 2] \). L'objectif est de résoudre graphiquement plusieurs équations et inéquations. Les questions sont :

• Résoudre \( f(x) = g(x) \), \( f(x) = h(x) \) et \( h(x) = g(x) \). Cela revient à trouver les abscisses des points d'intersection entre les courbes correspondantes.
• Résoudre \( f(x) \le g(x) \), \( h(x) \le g(x) \) et \( h(x) > f(x) \). Pour ces inéquations, il faut identifier les intervalles sur lesquels une courbe est située en dessous (ou au-dessus) d'une autre. Par exemple, pour résoudre \( f(x) \le g(x) \), on cherche les valeurs de \( x \) pour lesquelles la courbe \( \mathcal{C}_f \) est en dessous de la courbe \( \mathcal{C}_g \).

Cet exercice évalue votre capacité à traduire une question algébrique en une interprétation géométrique, une compétence fondamentale dans l'étude des fonctions.

Exercice 3 : Lecture et interprétation d'un tableau de variations

Ici, l'énoncé fournit directement le tableau de variations d'une fonction \( f \). La première étape est de déterminer l'ensemble de définition de la fonction, qui se lit simplement sur la première ligne du tableau. La suite de l'exercice teste votre compréhension profonde du lien entre variation et ordre. Il est demandé de comparer les images de certains nombres, par exemple \( f(-2) \) et \( f(-3) \). Pour ce faire, il faut situer -2 et -3 sur la ligne des \( x \), observer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle correspondant, et appliquer la définition : si la fonction est croissante, l'ordre est conservé ; si elle est décroissante, l'ordre est inversé. Une justification précise est attendue pour chaque comparaison.

Exercice 4 : Recherche d'extremums à partir d'un tableau de variations

En s'appuyant sur le même tableau de variations que l'exercice précédent, cet exercice se concentre sur la recherche des extremums (maximum et minimum) de la fonction \( f \) sur différents intervalles. Par exemple, on vous demande le maximum de \( f \) sur \( [-4; -1] \). La lecture du tableau permet de visualiser les valeurs prises par \( f(x) \) et de déterminer la plus grande ou la plus petite valeur atteinte sur l'intervalle spécifié. C'est une application directe de la lecture et de l'interprétation d'un tableau de variations.

Exercice 5 : Algorithmique et modélisation par une fonction

Le dernier exercice fait le pont entre les fonctions et l'algorithmique. Il s'agit d'un problème concret de tarification. Le prix d'un tee-shirt dépend du nombre d'unités commandées : 4€ l'unité, mais 3,5€ si la commande atteint au moins 100 unités. Cette situation correspond à une fonction définie par morceaux. La tâche consiste à compléter un algorithme en Python qui prend en entrée le nombre \( n \) de tee-shirts et retourne le prix total \( p \). Il faut traduire la condition sur la quantité en une structure conditionnelle `if ... else ...` pour calculer le prix correct. Cet exercice évalue la capacité à modéliser une situation réelle et à l'implémenter dans un langage de programmation simple.

Ce contrôle corrigé de Seconde sur les fonctions est donc un sujet complet qui balaye les compétences essentielles du chapitre : de la conjecture graphique à l'analyse fine d'un tableau de variation, en passant par la résolution d'équations et la modélisation algorithmique.