Contrôle de Mathématiques de Seconde sur le Calcul Numérique et Littéral
Ce sujet de contrôle pour la classe de Seconde est une évaluation complète sur le chapitre du calcul numérique et du calcul littéral. Il constitue une excellente ressource pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser les notions fondamentales de l'algèbre. Ce document propose un corrigé détaillé, idéal pour une préparation efficace aux examens. Les exercices balayent un large spectre de compétences, allant des opérations de base aux problèmes plus complexes impliquant des fonctions et des algorithmes.
Exercice 1 : Calculs avec des fractions
Cet exercice vise à évaluer la maîtrise des opérations fondamentales sur les fractions. Il est essentiel de savoir les manipuler avec aisance, car elles sont omniprésentes en mathématiques. Les questions demandent de calculer des expressions et de donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
- Question a) : Une addition de trois fractions nécessitant une mise au même dénominateur : $ \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $.
- Question b) : Une division de deux expressions fractionnaires : $ \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{9}}{\frac{5}{6} - \frac{2}{9}} $.
- Question c) : Un produit d'expressions fractionnaires : $ (\frac{3}{5} - \frac{2}{15}) \times (\frac{1}{6} + \frac{1}{4}) $.
- Question d) : Un calcul simple de produit : $ \frac{3}{8} \times (\frac{1}{4} - 1) $.
Exercice 2 : Calcul littéral et fractions
L'objectif ici est de transposer les compétences de calcul fractionnaire au calcul littéral. Les élèves doivent réduire des expressions algébriques au même dénominateur et les simplifier.
- Question a) : Addition d'un terme et d'une fraction : $ A = x + \frac{x-2}{2} $.
- Question b) : Soustraction de deux fractions littérales : $ B = \frac{3x+2}{6} - \frac{5x-1}{8} $.
- Question c) : Soustraction avec des dénominateurs variables : $ C = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x} $.
Exercice 3 : Puissances et écriture scientifique
Cet exercice teste la connaissance des règles de calcul sur les puissances, notamment les puissances de 10, et la capacité à formater un résultat en écriture scientifique.
- Question a) : Simplification d'une expression avec des exposants : $ A = \frac{2 \times (10^4)^5 \times 6 \times 10^{-4}}{4 \times 10^9} $.
- Question b) : Un autre calcul complexe de puissances : $ B = \frac{32 \times 10^3 \times 5 \times (10^{-2})^3}{4 \times 10^{-2}} $.
Exercice 4 : Expressions avec des racines carrées
Cet exercice se concentre sur la simplification et la manipulation des racines carrées. Il faut savoir extraire des carrés parfaits et utiliser les identités remarquables.
- Question a) : Simplification d'une somme de racines : $ 3\sqrt{3} + 2\sqrt{12} - \sqrt{300} $.
- Question b) : Une autre expression à simplifier sous la forme $ a\sqrt{b} $ : $ \sqrt{20} - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{45} $.
- Question c) : Développement d'une identité remarquable avec des racines : $ (4 - 2\sqrt{3})^2 $.
Exercice 5 : Résolution d'équations
Il s'agit ici de résoudre différents types d'équations, un savoir-faire central en mathématiques.
- Question a) : Équation du premier degré : $ 7x - (x + 2) = 2x + 3 $.
- Question b) : Équation du premier degré avec fractions, se résolvant par un produit en croix : $ \frac{2x+1}{3} = \frac{3-x}{2} $.
- Question c) : Équation du second degré simple de la forme $ X^2 = a $ : $ (3x + 2)^2 = 9 $.
Exercice 6 : Algorithme, fonction et polynôme du second degré
Cet exercice est le plus complet du sujet. Il fait le lien entre l'informatique (Python) et l'étude d'une fonction polynôme du second degré. Il met en lumière l'importance de savoir choisir la forme la plus adaptée d'une expression (développée, factorisée) en fonction du problème à résoudre.
- Question a) : Exécuter un programme simple pour calculer une image, $ f(2) $.
- Question b) : Traduire un code Python en une expression mathématique pour $ f(x) $.
- Question c) : Démontrer que la forme développée de $ f(x) $ est $ 21x^2 - 20x + 4 $ en utilisant les identités remarquables.
- Question d) : Trouver la forme factorisée de $ f(x) $.
- Question e) : Résoudre les équations $ f(x) = 0 $ et $ f(x) = 4 $ en utilisant la forme la plus pertinente.
En somme, ce contrôle corrigé de maths pour la Seconde offre un panorama exhaustif des compétences en calcul, préparant solidement les élèves à la suite de leur parcours au lycée.