Obtenez une analyse détaillée et un corrigé de ce contrôle de mathématiques de niveau Première, spécialité maths. Ce sujet d'évaluation d'une durée d'une heure porte sur deux chapitres fondamentaux de la géométrie : le Produit Scalaire et la Géométrie Repérée. Idéal pour réviser et s'entraîner avant une épreuve, ce document est structuré en deux parties : une première partie "Méli Mélo de techniques" pour tester les savoir-faire de base, et une seconde partie "Applications" pour évaluer la capacité à mobiliser ces connaissances dans des problèmes concrets.

Ce sujet de maths pour la Première S (spécialité) est un excellent outil pour maîtriser les différentes facettes du produit scalaire (calcul par projection, avec les coordonnées, avec les normes) ainsi que les équations de droites et de cercles.

Partie A : Méli Mélo de techniques

Cette première partie est un ensemble d'exercices courts visant à balayer les différentes méthodes de calcul et d'utilisation du produit scalaire.

Exercice 1 : Avec des projetés

Cet exercice se base sur une figure géométrique (un trapèze rectangle) pour évaluer la compréhension de la définition géométrique du produit scalaire. Il faut utiliser la projection orthogonale pour calculer différentes valeurs.

• Calcul de produits scalaires par projection : $\vec{CB} \cdot \vec{CE}$, $\vec{AE} \cdot \vec{AB}$, etc.
• Utilisation de la relation de Chasles pour décomposer des vecteurs avant le calcul, notamment pour $\vec{ED} \cdot \vec{EC}$.
• Application de la propriété d'orthogonalité : on vérifie si l'angle $\angle{DEC}$ est droit en testant si le produit scalaire $\vec{ED} \cdot \vec{EC}$ est nul.

Exercice 2 : Avec le cosinus

Ici, l'objectif est d'utiliser la formule du produit scalaire faisant intervenir le cosinus de l'angle entre deux vecteurs : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$. Dans le contexte d'un triangle isocèle MNP, on donne $\vec{PN} \cdot \vec{PM} = -8$ et l'angle $\angle{MPN} = 120^\circ$. La question est de retrouver la longueur du côté $PN$, ce qui implique de résoudre une équation simple.

Exercice 3 : Avec des coordonnées

Cet exercice bascule vers la géométrie analytique dans un repère orthonormé.

• On demande de calculer le produit scalaire $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ à partir des coordonnées des points A, B et C.
• Il faut ensuite calculer les normes $CA$ et $CB$ (distances entre les points).
• En combinant ces résultats, on en déduit une mesure de l'angle $\angle{ACB}$ en utilisant la formule du cosinus.
• La dernière question est plus complexe : il faut déterminer une condition sur l'ordonnée $y$ d'un point $M(0; y)$ pour que l'angle $\angle{AMB}$ soit aigu. Cela se traduit par l'inéquation $\vec{MA} \cdot \vec{MB} > 0$.

Exercice 4 : Avec les normes

Cet exercice est une application directe du théorème d'Al-Kashi (aussi appelé loi des cosinus) ou des formules de polarisation. Connaissant les longueurs des trois côtés d'un triangle $ABC$ ($AB=3, AC=5, BC=6$), il est demandé de calculer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. La méthode la plus rapide consiste à partir de l'égalité vectorielle $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$ et de passer au carré scalaire.

Partie B : Les applications

Cette seconde partie propose des problèmes plus structurés où les outils du produit scalaire et de la géométrie repérée sont utilisés pour résoudre des questions classiques.

Exercice 1 : Al Kashi

Cet exercice est entièrement dédié au théorème d'Al-Kashi.

• Question a : Calculer les trois angles d'un triangle dont on connaît les trois longueurs de côtés ($MN=5, MP=3, PN=7$).
• Question b : Calculer la longueur du troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre eux ($\angle{G} = 35^\circ, GE=7, GF=10$).

Exercice 2 : Équations de droites

Un exercice fondamental sur la manipulation des équations cartésiennes de droites dans un repère orthonormé. À partir de l'équation $2x - 3y + 1 = 0$ de la droite $D$ :

• Il faut identifier les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}$ et d'un vecteur normal $\vec{n}$ à la droite $D$.
• Déterminer l'équation d'une droite $d$ parallèle à $D$ passant par un point donné $A$.
• Déterminer l'équation d'une droite $d'$ perpendiculaire à $D$ passant par un point donné $B$.

Exercice 3 : Cercles

Cet exercice porte sur les équations de cercles.

• On demande d'abord de donner l'équation cartésienne du cercle $\mathcal{C}$ de centre $E(-2; 5)$ et de rayon 8.
• Il faut ensuite vérifier si un point $F(5; 1)$ appartient à ce cercle.
• La deuxième partie consiste à identifier la nature de l'ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant l'équation $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 2 = 0$. Cela nécessite de transformer l'équation sous sa forme canonique $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ en utilisant la complétion des carrés.

Exercice 4 : Diamètre

Ce dernier exercice est un problème de synthèse qui demande de trouver l'équation d'un cercle dont on connaît un diamètre $[AB]$ par deux méthodes différentes.

• Méthode 1 : Calculer les coordonnées du centre du cercle (milieu de $[AB]$) et le rayon (la moitié de la distance $AB$), puis utiliser la forme canonique de l'équation d'un cercle.
• Méthode 2 : Utiliser la propriété géométrique fondamentale : un point $M(x;y)$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont orthogonaux. Cette condition se traduit par l'équation de produit scalaire nul : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$.