Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir un des exercices classiques au contrôle. On voudrait une fonction \(f\), sauf qu'au lieu que ce soit \(2,6x^2 + x\), c'est par exemple \(ax^2 + bx\), et on vous dit de trouver les valeurs de \(a\) et de \(b\) sachant qu'on vous a donné une tangente à un certain endroit et un point de passage dont vous avez les coordonnées. On s'y met tout de suite.
Explication de la méthode
Dans ces exercices, on va vous donner autant d'indices. Ça, c'est un indice, ça, certains disent que c'est une inconnue, ça c'est bien connu et ça c'est une autre inconnue. Autrement dit, si vous cherchez \(a\) et \(b\), vous allez avoir deux indices, le point de passage et la tangente, qui vont vous permettre de faire un système d'équations en \(a\) et \(b\). En résolvant ce système d'équations en \(a\) et \(b\), vous avez trouvé leur valeur et vous pouvez donner l'expression de la fonction.
Comment est-ce qu'on s'y prend pour traiter le premier indice, le fait que \(f\), donc la courbe représentative de \(f\), passe par le point \((-20, 3)\)? Ça vous donne une égalité. Quand j'ai un point qui est sur une courbe, ça veut dire que le deuxième est l'image du premier, autrement dit que trois c'est l'image de -1 par la courbe \(f\), autrement dit que quand je prends -1 et que je le mets dans ma fonction \(f\), ça me donne trois. J'ai une première égalité.
Comment est-ce que je vais traiter le fait que notre fonction admet une tangente au point d'abscisse 2? Je vais regarder ce taux. Je me dis que cette tangente, ce que je peux calculer rapidement, c'est son coefficient directeur. Son coefficient directeur, c'est \(\Delta y / \Delta x\), donc 2 sur 2, donc je sais que le coefficient directeur de la tangente au point 2 vaut 2. Or, le coefficient directeur de la tangente, c'est le nombre dérivé de la fonction, donc le nombre dérivé de la fonction en 2 vaut 2, donc \(f'(2) = 2\). Formidable, j'ai deux équations à deux inconnus, je vais résoudre l'une et l'autre.
Résolution du système d'équations
Alors, \(f(-1) = 3\), donc je vais remplacer -1 par \(x\) dans ma fonction \(f\), ça me donne \(a(-1)^2 + b(-1) = 3\), donc \(a + b = 3\). J'ai une première équation.
Le deuxième indice, \(f'(2) = 2\), donc il faut d'abord calculer \(f'(x)\). Si \(f(x) = ax^2 + bx\), alors \(f'(x) = 2ax + b\). Donc \(f'(2) = 2(2a + b) = 2\), donc \(4a + 2b = 2\). J'ai un deuxième système d'équations à deux inconnus.
Je peux résoudre ce système par substitution. Je vais isoler \(a\) dans la première équation en passant mon \(b\) de l'autre côté, qui va devenir \(3 - b\). Donc, \(a = 3 - b\). Ensuite, je vais remplacer \(a\) par \(3 - b\) dans la deuxième équation, ce qui me donne \(4(3 - b) + 2b = 2\), donc \(12 - 4b + 2b = 2\), donc \(2b = -10\), donc \(b = -5\). En remplaçant \(b\) dans la première équation, j'obtiens \(a = 3 - (-5) = 8\).
Donc, les valeurs de \(a\) et \(b\) sont respectivement 8 et -5.
Conclusion
Comprenez que chaque fois que vous avez un point de passage, vous pouvez écrire que \(f\) du premier est égal au deuxième, et chaque fois que vous avez une tangente, vous pouvez calculer son coefficient directeur et vous pouvez écrire que \(f'\) de l'endroit où vous calculez la tangente est égal au coefficient directeur. Entraînez-vous, ça tombe vraiment en contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.