14. Position relative d'une fonction et sa tangente

Introduction

Allez, on est parti pour étudier la position relative d'une fonction et de sa tangente. C'est quelque chose qu'on a déjà vu dans le chapitre précédent. Pour étudier la position relative en mathématiques, c'est-à-dire savoir qui est au-dessus et qui est en dessous, il y a une seule technique à faire : c'est de calculer \(f(x)\) et ensuite d'étudier le signe de cette différence.

Étape 1 : Trouver l'équation de la tangente

La première étape est de trouver l'équation de la tangente. On a \(y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)\). On commence par calculer \(f'(x)\). Donc \(f'(x) = 2x + 2\). J'applique ma formule : \(y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1)\) et je remplace \(f'(1)\) par \(2 \cdot 1 + 2 = 4\). Je développe et je simplifie : \(4x - 4 + 4\) ça me fait \(4x\). L'équation de la tangente est donc \(y = 4x\).

Étape 2 : Calculer \(f(x) - y\)

Maintenant, je vais calculer ce que vaut \(f(x) - y\), c'est-à-dire \(f(x) - 4x\). Ça me donne \(x^2 + 2x + 1 - 4x\), ce qui simplifie à \(x^2 - 2x + 1\).

Étape 3 : Étudier le signe de \(f(x) - y\)

C'est un polynôme du second degré. On détermine le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\), donc \(\Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\). Donc, j'ai une seule racine, \(x = -b / 2a = 2 / 2 = 1\). Maintenant que c'est bon, je peux faire mon tableau de signes qui va de \(-\infty\) à \(+\infty\). Je mets ma racine \(x = 1\) où \(f(x) - y = 0\). Je regarde le signe de \(f(x) - y\), c'est un polynôme du second degré donc le signe est positif puis négatif puis positif.

Conclusion

Je peux maintenant appliquer la formule qui est de dire que quand \(f(x) - y\) est positif, ça veut dire que la fonction est au-dessus de sa tangente et quand \(f(x) - y\) est négatif, ça veut dire que la fonction est en dessous de sa tangente. Ici, \(f(x) - y\) est positif puis nul puis positif, autrement dit \(f(x)\) est toujours au-dessus de sa tangente sauf à \(x = 1\) où \(f(x) - y = 0\). Pourquoi cela ? Si je prends une fonction par exemple et que je trace la tangente en un point, la fonction est au-dessus de la tangente et à l'endroit où je calcule la tangente, les deux courbes se confondent puisque la fonction touche la tangente au point d'abscisse \(x = 1\). Donc, ce n'est pas étonnant qu'au point d'abscisse \(x = 1\), \(f(x) - y\) soit égal à zéro parce qu'au point où on calcule la tangente, la fonction et sa tangente se confondent. Cela peut être une question à un ou trois points au contrôle, donc entraînez-vous à le faire. Retenez bien que pour étudier la position relative, on fait la différence et on étudie le signe.