Ce sujet de mathématiques pour la classe de Terminale spécialité est une évaluation complète sur le chapitre des équations différentielles. D'une durée d'une heure, ce contrôle aborde les compétences essentielles à travers trois exercices variés : un questionnaire à choix multiples (QCM) pour vérifier les connaissances de base, un problème d'application concret sur la loi de refroidissement de Newton, et une étude de fonction classique impliquant la fonction exponentielle. Ce document est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

L'objectif de ce contrôle est de valider la maîtrise des différentes formes d'équations différentielles du premier ordre (y' = ay et y' = ay + b), la capacité à déterminer des solutions particulières à partir de conditions initiales, et l'aptitude à appliquer ces concepts dans un contexte physique. L'exercice final permet également de rebrasser des compétences d'analyse de fonction, indispensables en Terminale.

Exercice 1 : QCM sur les bases des équations différentielles

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples conçu pour évaluer rapidement la compréhension des définitions et des formules du cours. Chaque question cible une forme spécifique d'équation différentielle.

• Question 1 : On demande de trouver une solution de l'équation (E) : y' = 3x² - 1/x². Il s'agit ici de reconnaître que la solution est une primitive de la fonction f(x) = 3x² - 1/x². En utilisant les primitives usuelles, on trouve que F(x) = x³ + 1/x est une solution. Cette question teste la compétence "Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle" et la maîtrise des primitives.
• Question 2 : La question porte sur la solution générale de l'équation 4y' - y = 0, qui se réécrit y' = (1/4)y. C'est une équation différentielle linéaire homogène du type y' = ay, avec a = 1/4. Les solutions sont de la forme f(x) = ke^{ax}, soit ici f(x) = ke^{x/4}.
• Question 3 : Il faut trouver la solution générale de y' = 3y - 1. C'est une équation différentielle linéaire avec second membre constant, du type y' = ay + b, avec a = 3 et b = -1. Les solutions sont de la forme f(x) = ke^{ax} - b/a. La solution particulière constante est y = -b/a = -(-1)/3 = 1/3. La solution générale est donc f(x) = ke^{3x} + 1/3.

Exercice 2 : Problème d'application - Loi de refroidissement de Newton

Cet exercice est un problème concret qui modélise la température d'un café au cours du temps. C'est une application classique des équations différentielles en physique. L'équation qui régit le phénomène est θ'(t) = -0,2(θ(t) - M), avec une condition initiale θ(0) = 80.

• Question 1 : Dans un premier cas simplifié où la température ambiante M est de 0°C, l'équation devient θ'(t) = -0,2θ(t). On résout cette équation de type y' = ay et on utilise la condition initiale θ(0) = 80 pour trouver la constante k, ce qui correspond à la compétence "Trouver la valeur de K dans une équation différentielle".
• Question 2 :
  • a) Dans un second cas plus réaliste, M = 10°C. L'équation devient θ'(t) = -0,2(θ(t) - 10), soit θ'(t) = -0,2θ(t) + 2. C'est une équation de type y' = ay + b. On la résout en trouvant la solution générale, puis on détermine la solution particulière grâce à la condition initiale.
  • b) La dernière partie demande de calculer le temps nécessaire pour que le café atteigne 40°C. En utilisant la solution trouvée, θ(t) = 70e^{-0.2t} + 10, il faut résoudre l'équation 40 = 70e^{-0.2t} + 10. Cette étape requiert la manipulation de la fonction exponentielle et l'utilisation du logarithme népérien pour isoler t. C'est un test de la compétence "Résolution d'équation avec exponentielle".

Cet exercice illustre parfaitement la compétence "Équations différentielles et problèmes", en montrant comment un outil mathématique permet de modéliser et de résoudre une situation du monde réel.

Exercice 3 : Étude de fonction avec exponentielle

Le dernier exercice est une étude de fonction classique, un incontournable de l'analyse en Terminale. La fonction à étudier est f(x) = (x² + 9x + 19)e^{-x-5}.

1. Calcul de la dérivée : La première étape consiste à dériver la fonction f. Il faut appliquer la formule de la dérivée d'un produit (uv)' = u'v + uv', ce qui met en jeu la compétence "Dérivée et exponentielle". Le calcul mène à f'(x) = -(x+2)(x+5)e^{-x-5}.
2. Racines de la dérivée : On demande ensuite de trouver les valeurs qui annulent f'(x). Comme la fonction exponentielle ne s'annule jamais, il suffit de trouver les racines du polynôme -(x+2)(x+5), qui sont -2 et -5.
3. Tableau de variations : La dernière question demande d'établir le tableau de variations de f. Pour cela, il faut étudier le signe de la dérivée f'(x) en fonction de x, ce qui revient à étudier le signe du trinôme -(x+2)(x+5). Cette analyse permet de déterminer les intervalles où f est croissante ou décroissante, mobilisant la compétence "Étude de variation avec exponentielle".