Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8

Introduction

Allez les amis, on est parti pour étudier la continuité d'une fonction en un point. On va le comprendre et on va voir les principaux exercices sur lesquels vous êtes susceptibles de tomber. On se fait ça tout de suite.

La continuité d'une fonction en un point

La continuité d'une fonction en un point, c'est la capacité que vous avez à dessiner cette fonction sans lever le doigt. On la caractérise de la manière suivante : pour que la fonction soit continue en \(a\), il faut que la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) en étant plus petit soit égale à la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) en étant plus grand, et que cela soit égal à \(f(a)\). En d'autres termes, si on veut que la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) en étant positif soit la même que la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) en étant négatif, et on veut que cela soit égal à \(f(a)\). On va comprendre pourquoi on a besoin de ces trois caractérisations et on va surtout voir les trois cas de fonctions non continues.

Cas de fonctions non continues

Le premier cas de fonctions non continues, c'est quand vous avez la fonction qui est continue jusqu'au point \(a\), sauf qu'au point \(a\), la fonction vaut \(f(a)\) et juste après, elle reprend un peu plus haut. Dans ce cas, la limite à droite, c'est-à-dire celle-ci, elle est égale à \(f(a)\), mais elle n'est pas égale à la limite quand \(x\) tend vers \(a\) en étant positif. Le deuxième cas, c'est par exemple une fonction qui est continue jusqu'au point \(a\), mais elle ne touche pas le point \(a\). Par contre, \(f(a)\) est ici. Donc, j'ai bien la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) en étant plus grand qui vaut bien \(f(a)\), mais par contre, elle ne vaut pas la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) en étant plus petit. Le troisième cas, c'est une fonction qui est continue jusqu'au point \(a\), qui s'arrête ici. Donc, \(f(a)\) est par exemple ici et la fonction reprend là. Donc, on n'a ni la limite à gauche qui est égale à \(f(a)\), ni la limite à droite qui est égale à \(f(a)\). On a ces trois points qui sont différents. Pour que la fonction soit continue, il faut que ces trois éléments soient alignés, c'est-à-dire au même endroit. Dans ce cas, je peux dessiner la fonction sans lever le doigt. Donc, la fonction est continue en le point \(a\).

Exercices

Alors, les exercices très simples que vous avez, c'est cela. L'exercice plus compliqué, c'est ce qu'ils écrivent avec les crochets, comme on vient de voir sur la boîte. Premièrement, pour vérifier si cette fonction est continue en le point 3, on va calculer les trois objets qu'on a vu tout à l'heure, c'est-à-dire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 3 en étant plus grand, la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 3 en étant plus petit et \(f(3)\). Si ces trois éléments sont égaux, ça veut dire que ma fonction est continue en 3. Alors, la limite en 3 de \(2 / (x - 3)\) de quelque chose qui se rapproche infiniment de 3, ça me fait à peu près \(2 / 1\), ça fait à peu près 2. Pareil pour la limite quand \(x\) tend vers 3 en étant plus petit, et \(f(3)\) qui vaut exactement 2. Donc, la fonction \(f\) est continue. Deuxième exercice, cette fois-ci, elle est définie de trois manières différentes. On ne se laisse pas abattre, on va calculer exactement les mêmes choses : la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers 3 en étant plus grand, la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers 3 en étant plus petit et \(g(3)\). Pour calculer la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers 3 en étant plus grand, on utilise la formule \(3x - 7\). Pour \(x\) plus petit que 3, on utilise la formule \(-3x + 11\). On obtient respectivement 2 et 2. Pour \(g(3)\), on obtient aussi 2. Donc, la fonction \(g\) est aussi continue en \(x = 3\). On vous a mis des petits exercices, entraînez-vous, c'est la base pour comprendre le reste. À vous de jouer, vous êtes des champions!