Découvrez notre contrôle corrigé sur les vecteurs, spécialement conçu pour les élèves de Seconde. Ce sujet complet d'une heure couvre les notions essentielles de la géométrie vectorielle dans le plan, de la manipulation des coordonnées à la démonstration de propriétés géométriques. Idéal pour s'entraîner et réviser avant une évaluation, ce document PDF téléchargeable propose 5 exercices progressifs avec des applications concrètes.

Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les compétences attendues : calcul de coordonnées de vecteurs et de milieux, calcul de distances (norme d'un vecteur), utilisation des propriétés vectorielles pour caractériser des quadrilatères, et application de la colinéarité pour prouver l'alignement de points ou le parallélisme de droites. Un excellent support pour maîtriser le chapitre des vecteurs en Seconde.

Exercice 1 : Notions de base dans un repère orthonormé (4 points)

Cet exercice d'introduction vise à vérifier la maîtrise des outils fondamentaux de la géométrie analytique. Dans un repère orthonormé \( (O; I, J) \), il faut manipuler les coordonnées de plusieurs points.

• Question 1 : Placement de points \( A(1, 4) \), \( B(-3, 4) \) et \( C(4, 2) \) dans le repère.
• Question 2 : Calcul de la distance \( AC \). Cela revient à calculer la norme du vecteur \( \vec{AC} \). La formule à utiliser est \( AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \).
• Question 3 : Calcul des coordonnées du point \( K \), milieu du segment \( [AB] \), en appliquant les formules \( x_K = \frac{x_A + x_B}{2} \) et \( y_K = \frac{y_A + y_B}{2} \).
• Question 4 : Détermination des coordonnées d'un point \( D \) tel que \( C \) soit le milieu de \( [AD] \). Cet exercice demande d'inverser les formules du milieu pour trouver les coordonnées de l'extrémité d'un segment.

Exercice 2 : Caractérisation de quadrilatères (4 points)

Cet exercice se concentre sur l'utilisation des vecteurs pour démontrer les propriétés de figures géométriques. Avec les points \( A(3; 1) \), \( B(2; 3) \), \( C(-4; 0) \) et \( D(-3; -2) \), l'objectif est d'identifier la nature du quadrilatère \( ABCD \).

• Question 1 : Démontrer que \( ABCD \) est un parallélogramme. La méthode la plus efficace est de montrer l'égalité de deux vecteurs, par exemple \( \vec{AB} = \vec{DC} \), en comparant leurs coordonnées.
• Question 2 : Démontrer que \( ABCD \) est un rectangle. Une fois que l'on sait que c'est un parallélogramme, il suffit de prouver une propriété supplémentaire. On peut par exemple montrer que les diagonales ont la même longueur (\( AC = BD \)), ce qui implique le calcul de deux normes de vecteurs.

Exercice 3 : Calcul vectoriel et coordonnées (3 points)

Cet exercice aborde les opérations sur les vecteurs à travers leurs coordonnées : égalité et somme de vecteurs.

• Question 1 : Détermination des coordonnées du point \( D(x; y) \) à partir de l'égalité vectorielle \( \vec{CD} = \vec{AB} \). Il faut d'abord calculer les coordonnées de \( \vec{AB} \), puis exprimer celles de \( \vec{CD} \) en fonction de \( x \) et \( y \), et enfin résoudre un système simple d'équations.
• Question 2 : Calcul des coordonnées d'un point \( E(x; y) \) défini par une somme de vecteurs \( \vec{AE} = \vec{AD} + \vec{BC} \). Cet exercice demande de calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AD} \) et \( \vec{BC} \), de les additionner pour obtenir les coordonnées du vecteur \( \vec{AE} \), et d'en déduire les coordonnées de \( E \).

Exercice 4 : Colinéarité, alignement et parallélisme (4 points)

Cet exercice est centré sur la notion clé de colinéarité des vecteurs et ses applications géométriques directes : l'alignement de points et le parallélisme de droites.

• Question 1 : Montrer que les points \( A(0; 1) \), \( B(15; -59) \) et \( C(-12; 49) \) sont alignés. Pour cela, on démontre que les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) sont colinéaires, en utilisant la condition de colinéarité \( xy' - x'y = 0 \).
• Question 2 : Déterminer la valeur du réel \( x \) pour que les droites \( (AB) \) et \( (CD) \) soient parallèles, avec \( D(x; 15) \). Cette question se résout également en utilisant la condition de colinéarité, cette fois appliquée aux vecteurs directeurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \).

Exercice 5 : Problème de synthèse géométrique (5 points)

Ce dernier exercice est un problème plus complexe qui combine géométrie pure et géométrie analytique. Partant d'un carré \( ABCD \) et de deux triangles équilatéraux \( ABE \) et \( BCF \), il s'agit d'utiliser un repère bien choisi pour démontrer un alignement.

• Question 1 : Calcul de la longueur d'une hauteur dans un triangle équilatéral, un rappel de géométrie élémentaire.
• Question 2 : L'essentiel du problème se déroule dans le repère orthonormé \( (A; \vec{AB}, \vec{AD}) \).
  • (a) Justification que le repère est orthonormé.
  • (b) Détermination des coordonnées de tous les points de la figure (\( A, B, C, D, E, F \)) dans ce repère. Cette étape demande de la méthode et l'utilisation des propriétés géométriques des figures.
  • (c) Déduction de l'alignement des points \( D, E, F \) par le calcul, en montrant la colinéarité des vecteurs \( \vec{DE} \) et \( \vec{DF} \).