Ce document présente le sujet et une analyse détaillée d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde, axé sur le chapitre des généralités sur les fonctions. Cette évaluation, d'une durée d'une heure, a pour objectif de vérifier la maîtrise des compétences fondamentales liées à l'étude de fonctions, incluant l'analyse graphique, l'interprétation de tableaux de variation, et l'étude d'une fonction polynôme du second degré. C'est un excellent support pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser ce chapitre crucial du programme de Seconde.

Ce sujet de maths est un outil précieux pour se préparer à une évaluation, en balayant des savoir-faire essentiels comme la lecture d'images et d'antécédents, la résolution graphique d'inéquations, la détermination d'extremums, et l'étude complète d'un trinôme. Vous trouverez ci-dessous une analyse exercice par exercice pour comprendre les attendus et les compétences mobilisées.

Analyse de l'Exercice 1 : Lecture graphique de fonction

Cet exercice constitue une excellente entrée en matière pour évaluer la capacité à lire et interpréter la représentation graphique d'une fonction \(f\). La courbe \(C_f\) est donnée sur l'intervalle \([-4; 4]\).

• Les questions a), b) et c) demandent de résoudre graphiquement des inéquations : \(f(x) \ge 3\), \(f(x) > 1\) et \(f(x) < 2\). Pour y répondre, l'élève doit identifier sur le graphique les portions de la courbe situées au-dessus ou en dessous d'une droite horizontale, puis lire les intervalles correspondants sur l'axe des abscisses. C'est une compétence clé pour visualiser le comportement d'une fonction.
• La question d) interroge sur le maximum et le minimum de la fonction sur son intervalle de définition. Il s'agit de repérer les points le plus haut et le plus bas de la courbe et de lire leurs ordonnées.
• Enfin, la question e) demande de dresser le tableau de variations de la fonction. L'élève doit synthétiser les informations graphiques en indiquant les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs des extremums.

Analyse de l'Exercice 2 : Interprétation d'un tableau de variation

Le deuxième exercice prend le contre-pied du premier. Au lieu d'un graphique, les élèves disposent d'un tableau de variations complet d'une fonction \(f\). L'objectif est de tester leur capacité à extraire des informations précises à partir de cette représentation schématique.

• La question a) demande de donner l'ensemble de définition, qui se lit directement sur la première ligne du tableau.
• Les questions b) et c) portent sur la lecture d'images et d'antécédents. Il faut savoir naviguer dans le tableau pour trouver la valeur de \(f(x)\) pour un \(x\) donné, et inversement.
• La question d) demande de trouver le maximum de la fonction, qui correspond à la plus grande valeur atteinte par \(f(x)\) dans le tableau.
• La question e) est plus subtile et évalue une compréhension fine du sens de variation. Il faut comparer les images de nombres en utilisant la monotonie de la fonction. Par exemple, pour comparer \(f(-3)\) et \(f(-2)\), il faut observer que la fonction est croissante sur l'intervalle \([-5; -1]\) qui contient \(-3\) et \(-2\).

Analyse de l'Exercice 3 : Construction d'une courbe représentative

Cet exercice est un exercice de synthèse. Il s'agit de tracer une courbe plausible pour une fonction \(h\) en respectant un ensemble de contraintes. Ces contraintes incluent :

• Des points de passage obligés : \(h(-3) = 0\), \(h(0) = 2\), \(h(2) = -1\).
• Le sens de variation sur différents intervalles.
• La valeur du maximum et du minimum global.

Cet exercice permet de vérifier si l'élève a bien assimilé la signification de chaque information (point, variation, extremum) et s'il est capable de les combiner pour produire une représentation graphique cohérente.

Analyse de l'Exercice 4 : Étude complète d'une fonction polynôme du second degré

Ce dernier exercice, plus long et noté sur 9 points, est une étude approfondie d'une fonction trinôme : \(f(x) = x^2 + 2x - 3\) sur l'intervalle \([-4; 4]\). Il mobilise à la fois le calcul algébrique, l'utilisation de la calculatrice et l'analyse de fonction.

• La première question consiste à compléter un tableau de valeurs, un exercice de calcul d'images.
• La question b) demande de vérifier si des points appartiennent à la courbe, ce qui revient à tester l'égalité \(y = f(x)\) par le calcul.
• Les questions c), d) et g) sont dédiées à l'utilisation de la calculatrice graphique pour afficher la courbe, conjecturer les solutions de \(f(x) = 0\) et le minimum de la fonction.
• La question e) exige une confirmation par le calcul des solutions de l'équation \(f(x) = 0\), c'est-à-dire la résolution d'une équation du second degré, probablement à l'aide du discriminant.
• La question f) demande d'établir le tableau de signe de la fonction, une compétence essentielle pour la résolution d'inéquations.
• Enfin, la question h) conclut l'étude en demandant de dresser le tableau de variation de la fonction \(f\), en calculant les coordonnées du sommet de la parabole.

Ce contrôle de maths est donc très complet et constitue une excellente préparation pour les élèves de Seconde sur le chapitre des fonctions.