Ce document est le corrigé détaillé d'une évaluation de mathématiques sur les probabilités pour le niveau Seconde. D'une durée d'une heure, ce contrôle balaye les compétences fondamentales du chapitre, de la définition de l'univers à la manipulation des formules clés et la construction d'arbres de probabilité. Idéal pour les révisions, ce sujet corrigé de maths permet de s'assurer de la bonne maîtrise des notions essentielles pour tout élève de Seconde.

Exercice 1 : QCM sur les bases des probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui vise à vérifier la compréhension des définitions et formules de base des probabilités. Chaque question propose une unique bonne réponse, permettant une auto-évaluation rapide.

• Question 1 : On demande de déterminer l'univers d'une expérience aléatoire simple : le lancer d'un dé tétraédrique numéroté de 1 à 4. L'univers, noté \( \Omega \), est l'ensemble de toutes les issues possibles. La bonne réponse est donc l'ensemble \( \Omega = \{1, 2, 3, 4\} \).
• Question 2 : Cette question teste la connaissance de la formule de la probabilité de la réunion de deux événements A et B. La formule générale est \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \). Il est crucial de ne pas oublier de soustraire la probabilité de l'intersection pour ne pas compter deux fois les éléments communs.
• Question 3 : À l'aide d'un diagramme de Venn, il faut identifier la zone correspondant à l'intersection des événements A et B, notée \( A \cap B \). Cette zone représente les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B, un concept visuel fondamental.
• Question 4 : Il s'agit d'un calcul de probabilité dans un cas d'équiprobabilité. Une roue est divisée en 8 secteurs identiques. On s'intéresse à l'événement A : « Le numéro est strictement supérieur à 3 ». Les issues favorables sont {4, 5, 6, 7, 8}, soit 5 issues. L'univers contient 8 issues. La probabilité est donc \( P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{5}{8} \).

Exercice 2 : Tirage dans une urne

Cet exercice met en application les calculs de probabilités dans un contexte classique de tirage de boules. L'urne contient 100 boules, ce qui facilite le calcul des probabilités en se ramenant à des pourcentages.

• Question 1 : On définit les événements A : « la boule est rouge » et B : « la boule porte le numéro 2 ». Il faut calculer \( P(A) \), \( P(\bar{A}) \) (l'événement contraire de A) et \( P(B) \).
  • Nombre de boules rouges : 25 + 15 = 40. Donc \( P(A) = \frac{40}{100} = 0.4 \).
  • La probabilité de l'événement contraire est \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6 \).
  • Nombre de boules avec le numéro 2 : 15 (rouges) + 20 (vertes) + 10 (jaunes) = 45. Donc \( P(B) = \frac{45}{100} = 0.45 \).
• Question 2 : On demande de décrire l'événement \( A \cap B \) (« la boule est rouge ET porte le numéro 2 ») et de calculer sa probabilité. Il y a 15 boules rouges numérotées 2. Donc \( P(A \cap B) = \frac{15}{100} = 0.15 \).
• Question 3 : On demande de décrire l'événement \( A \cup B \) (« la boule est rouge OU porte le numéro 2 ») et de calculer sa probabilité. En utilisant la formule de l'union : \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.45 - 0.15 = 0.70 \).

Exercice 3 : Étude d'un dé truqué et loi de probabilité

Cet exercice aborde une situation non équiprobable, nécessitant la détermination d'une loi de probabilité, une compétence clé.

• Question 1 : L'univers du lancer d'un dé à 6 faces est \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).
• Question 2 : Pour trouver la loi de probabilité, on pose \( p = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) \). On sait que \( P(6) = \frac{1}{2} \). La somme des probabilités des événements élémentaires doit valoir 1 : \( 5p + P(6) = 1 \Rightarrow 5p + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow 5p = \frac{1}{2} \Rightarrow p = \frac{1}{10} \). On peut alors dresser le tableau de la loi de probabilité.
• Question 3 : L'événement A : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 » correspond à l'ensemble \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Sa probabilité est la somme des probabilités élémentaires : \( P(A) = 5 \times p = 5 \times \frac{1}{10} = 0.5 \).
• Question 4 : On considère l'événement C : « obtenir un nombre pair ». (a) L'ensemble est \( C = \{2, 4, 6\} \). Sa probabilité est \( P(C) = P(2) + P(4) + P(6) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{2} = \frac{7}{10} = 0.7 \). (b) La probabilité d'obtenir un nombre impair est celle de l'événement contraire \( \bar{C} \). On a \( P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.7 = 0.3 \).

Exercice 4 : Lancers de pièce et arbre de probabilités

Cet exercice classique sur le lancer répété d'une pièce de monnaie permet de travailler la construction et l'exploitation d'un arbre de probabilités.

• Question 1 : On demande de construire l'arbre décrivant les 3 lancers successifs. L'arbre part d'une racine, se divise en deux branches (Pile/Face), puis chaque branche se redivise en deux, et ce trois fois de suite.
• Question 2 : L'ensemble des issues \( \Omega \) est lu à l'extrémité des branches de l'arbre. Il y a \( 2^3 = 8 \) issues : \( \Omega = \{PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF\} \).
• Question 3 : La situation est équiprobable car la pièce est « parfaitement équilibrée ». Chaque lancer est indépendant et la probabilité d'obtenir Pile ou Face est de \( \frac{1}{2} \). Par conséquent, chaque issue (chaque chemin dans l'arbre) a une probabilité de \( (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} \).

Exercice 5 : Événements incompatibles (disjoints)

Ce court exercice permet de vérifier la compréhension de la notion d'événements incompatibles et de la formule de probabilité de l'union qui en découle.

• On donne \( P(A) = 0.2 \) et \( P(B) = 0.7 \), avec A et B incompatibles. Cela signifie que \( A \cap B = \emptyset \) et donc \( P(A \cap B) = 0 \).
• Le calcul de \( P(\bar{B}) \) se fait via la formule de l'événement contraire : \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.7 = 0.3 \).
• Le calcul de \( P(A \cup B) \) pour des événements incompatibles se simplifie : \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.2 + 0.7 = 0.9 \).